Remarque 3

Avec les notations de la prop. 3, (iv), l’application canonique N : M → Hom_A(M, N) qui à toute application K-linéaire f ∈ N : M associe l’application A-linéaire de M dans N qui a même graphe que f|M, est bijective: en effet, toute application A-linéaire g : M → N se prolonge en une application K-linéaire g ⊗ 1 : M ⊗_A K → N ⊗_A K, et on a vu que M ⊗_A K et N ⊗_A K s’identifient respectivement à V et W.

En particulier, si l’on prend W = K, N = A, Hom_K(V, W) n’est autre que le K-espace vectoriel dual V* de V, et A : M s’identifie au A-module dual M* de M; nous ferons désormais cette identification et nous dirons que M* est le réseau dual de M: c’est donc l’ensemble des x* ∈ V* tels que ⟨x, x*⟩ ∈ A pour tout x ∈ M.