Exemple 4

Soit $S$ une $K$-algèbre de rang fini (non nécessairement associative) ayant un élément unité; alors l’application bilinéaire $(x, y) \to xy$ de $S \times S$ dans $S$ est non dégénérée (à gauche et à droite). Si $M$ et $N$ sont des réseaux de $S$ par rapport à $A$, il en est de même de $M . N$ (prop. 3, (iii)) et de l’ensemble des $x \in S$ tels que $xM \subset N$ (cor. de la prop. 3). Notons qu’il existe une sous-$A$-algèbre de $S$ contenant l’élément unité de $S$ qui est un réseau de $S$; considérons en effet une base $(e_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}$ de $S$ telle que $e_1$ soit l’élément unité de $S$, et soit $e_i e_j = \sum_k c_{ijk} e_k$ la table de multiplication de $S$ ($1 \leqslant i \leqslant n$, $1 \leqslant j \leqslant n$), de sorte que l’on a $c_{1jk} = \delta_{jk}$, $c_{i1k} = \delta_{ik}$ (symboles de Kronecker). Soit $s \in A$ non nul et tel que $c'_{ijk} = s . c_{ijk} \in A$ pour tout triplet d’indices $(i, j, k)$; si on pose $e'_i = se_i$ pour $i \geqslant 2$, on a $e'_i e'_j = sc'_{ij1} e_1 + \sum_{k \geqslant 2} c'_{ijk} e'_k$ pour $i \geqslant 2$ et $j \geqslant 2$; le réseau de $S$ ayant pour base $e_1$ et les $e'_i$ ($2 \leqslant i \leqslant n$) est une sous-$A$-algèbre de $S$ dont $e_1$ est l’élément unité.