Theorem 2

Let $A$ be an integrally closed ring, and $B$ a ring containing $A$, integral over $A$. Assume that $B$ is a torsion-free $A$-module. For every ideal $a$ of $A$, one has $\operatorname{ht}(a) = \operatorname{ht}(aB)$. Let $b$ be an ideal of $B$ and $a = b \cap A$; one then has $\operatorname{ht}(a) = \operatorname{ht}(b)$.

Soit $\rho$ l’application canonique de $A$ dans $B$. Soient $a$ un idéal de $A$. Si $a = A$, la première égalité est claire. Supposons $a \neq A$. Comme $\rho$ est injectif, $^a\rho$ est surjectif (V, § 2, No. 1, Theorem 1). Par suite $aB \neq B$. Soit alors $q$ un idéal premier de $B$ contenant $aB$. Posons $p = q \cap A$. On a $a \subset p$, d’où $\operatorname{ht}(a) \leq \operatorname{ht}(p)$. Soit $p_0 \subset ... \subset p_n$ une chaîne d’idéaux premiers de $A$ avec $p_n = p$. D’après le deuxième théorème d’existence (V, § 2, No. 4, Theorem 3), on construit par récurrence une chaîne $q_0 \subset ... \subset q_n$ d’idéaux premiers de $B$ telle que $q_n = q$ et $q_i$ soit au-dessus de $p_i$ pour $0 \leq i \leq n$. On a $n \leq \operatorname{ht}(q)$, d’où $\operatorname{ht}(a) \leq \operatorname{ht}(q)$. En passant à la borne inférieure on obtient $\operatorname{ht}(a) \leq \operatorname{ht}(aB)$ ($§ 1$, No. 3, Prop. 7). L’inégalité $\operatorname{ht}(aB) \leq \operatorname{ht}(a)$ résulte du Theorem 1, d’où la première equality. Soit $b$ un idéal de $B$. Posons $a = \rho^{-1}(b)$. On a $aB \subset b$, d’où $\operatorname{ht}(a) = \operatorname{ht}(aB) \leq \operatorname{ht}(b)$. L’inégalité $\operatorname{ht}(b) \leq \operatorname{ht}(a)$ résulte du Theorem 1, d’où le theorem.