Remarque 4

Supposons A local de corps résiduel k, et considérons l’application surjective canonique $\lambda : q \to q \otimes_A k$. Elle est la composée des applications canoniques $q \to q/q^2$ et $\bar{\lambda} : q/q^2 \to q \otimes_A k$. D’après le lemme de Nakayama, chacun des sous-espaces vectoriels $V_i = \bar{\lambda}(p_i \cap (q/q^2))$ de $q \otimes_A k$ est distinct de $q \otimes_A k$; si $\alpha \in q \otimes_A k$ n’appartient à aucun des $V_i$, alors $\lambda^{-1}(\alpha)$ est formé d’éléments superficiels pour M (prop. 9). Si k est infini, la réunion des $V_i$ est distincte de $q \otimes_A k$ et il existe donc des éléments superficiels pour M.