§ 7. Multiplicités

Dans tout ce paragraphe, on note $A$ un anneau noethérien.

1. Multiplicité d’un module relativement à un idéal

Soient $M$ un $A$ -module de type fini et $q$ un idéal de $A$ contenu dans le radical de $A$ et tel que $M/qM$ soit de longueur finie. Supposons $M$ non réduit à 0 et posons $d = \dim_A(M)$ . D’après § 4, no 3, corollaire du th. 2 et no 4, remarque 2, il existe un unique entier $e_q(M) > 0$ tel que l’on ait, pour tout entier $n \geqslant 1$

\operatorname{long}_A(M/q^{n+1}M) = e_q(M) \frac{n^d}{d!} + \beta_n n^{d-1}

où $\beta_n$ tend vers une limite lorsque $n$ augmente indéfiniment.

Définition 1

L’entier $e_q(M)$ s’appelle la multiplicité du A-module M relativement à l’idéal q.

On le note aussi $e_q^A(M)$ lorsque l’on désire mentionner l’anneau A. Lorsque A est local d’idéal maximal m, on écrit $e(M)$ ou $e^A(M)$ pour $e_m(M)$ ou $e_m^A(M)$ .

Remarque 1

Si q’ est un idéal de A contenu dans le radical de A et contenant q, on a $e_{q'}(M) \leqslant e_q(M)$ et, si la filtration q’-adique de M est q-bonne, on a $e_{q'}(M) = e_q(M)$ (§ 4, no 3, th. 2).

Remarque 2

Si M est de longueur finie, on a $e_q(M) = \operatorname{long}_A(M)$ (§ 4, no 3, remarque 3).

Remarque 3

Si $d > 0$ , on a

\operatorname{long}_{A/q}(q^nM/q^{n+1}M) = e_q(M) \frac{n^{d-1}}{(d-1)!} + \alpha_n n^{d-2}

où $\alpha_n$ tend vers une limite lorsque $n$ augmente indéfiniment (§ 4, no 3, corollaire au th. 2).

Remarque 4

On peut ramener le calcul des multiplicités au cas où A est local puisque, d’après § 4, no 4, corollaire au th. 3, on a

e_q(M) = \sum e_{q_m}(M_m)

la sommation étant étendue aux idéaux maximaux m de A tels que

m \in \operatorname{Supp}(M) \cap V(q) \quad \text{et} \quad \dim_{A_m}(M_m) = d .

Il résulte des remarques 2 et 3 que $e_q(M)$ ne dépend que du A/q-module gradué $\operatorname{gr}_q(M)$ . Par conséquent :

Proposition 1

Soient $\hat{A}$ et $\hat{M}$ les complétés de A et M pour leurs topologies q-adiques ; alors $e_q^A(M) = e_{q\hat{A}}(\hat{M})$ .

Proposition 2

Supposons A local régulier (§ 5, no 1, déf. 1) ; on a $e(A) = 1$ . Cela résulte du th. 1 du § 5, no 2.

Remarque 5

On peut avoir $e(A) = 1$ sans que A soit régulier (p. 104, exerc. 5). En fait, un anneau local noethérien A est régulier si et seulement si $\hat{A}$ est intègre et si l’on a $e(A) = 1$ (p. 108, exerc. 24).

Exemple

On a par définition $e_{q,r}(M) = r^d e_q(M)$ où $d = \dim_A(M)$ . Par conséquent, si A est local régulier, on a $e_{m_A^r}(A) = r^d$ . Par exemple, si A est un anneau de valuation discrète, on a $e_q(A) = \operatorname{long}(A/q)$ .

Soient q un idéal de A contenu dans le radical de A et C(q) l’ensemble des classes des A-modules M de type fini tels que M/qM soit de longueur finie. Pour tout d ∈ $\mathbf{N}$ , notons C(q)_{≤ d} la partie de C(q) formée des classes de A-modules de dimension ≤ d. On définit une application e_{q,d}: C(q)_{≤ d} → $\mathbf{Z}$ par e_{q,d}(M) = e_q(M) si dim(M) = d, e_{q,d}(M) = 0 sinon. Cette application est additive d’après la prop. 5 du , n° 3 ; on en déduit (A, VIII, § 10, n° 2) un homomorphisme, encore noté e_{q,d}, du groupe de Grothendieck K(C(q)_{≤ d}) dans $\mathbf{Z}$ , qui est nul sur K(C(q)_{≤ d-1}). En raisonnant comme au § 1, n° 5, on en déduit

Proposition 3

Soit M un A-module de type fini, de dimension d ≥ 0. Soit Φ l’ensemble des éléments minimaux p de Supp(M) tels que dim(A/p) = d. Soit q un idéal de A, contenu dans le radical de A, et tel que M/qM soit de longueur finie. On a

e_q(M) = \sum_{p \in \Phi} \operatorname{long}_{A_p}(M_p).e_q(A/p).

Corollaire

Supposons A semi-local et soit q un idéal de définition de A. a) On a $e_q(A) = \sum_p e_q(A/p)$ , où p parcourt l’ensemble des idéaux premiers minimaux de A tels que $\dim(A/p) = \dim(A)$ . b) Supposons A intègre et soit M un A-module de type fini tel que $\dim_A(M) = \dim(A)$ . Alors on a $e_q(M) = \operatorname{rg}(M).e_q(A)$ .

2. Multiplicités et extensions plates

Proposition 4

Soit ρ : A → B un homomorphisme local d’anneaux locaux noethériens, et soit N un B-module de type fini, plat sur A, et tel que N ⊗_A κ_A soit un B-module de longueur finie. Si M est un A-module de type fini non nul et q un idéal de A distinct de A et tel que M/qM soit de longueur finie, alors (M ⊗_A N)/(qB)(M ⊗_A N) est un B-module de longueur finie, et l’on a

e_{q_B}^B(M \otimes_A N) = \operatorname{long}_B(N \otimes_A \kappa_A).e_q^A(M).

Soit L un A-module de longueur finie r. Alors L possède une suite de Jordan-Hölder de longueur r, à quotients isomorphes à κ_A ; comme N est plat sur A, le B-module L ⊗_A N possède une suite de composition de longueur r, à quotients isomorphes à N ⊗_A κ_A, donc est de longueur r · long_B(N ⊗_A κ_A). Comme le B-module (M ⊗_A N)/(qB)^n(M ⊗_A N) est isomorphe à (M/q^nM) ⊗_A N pour tout n ∈ $\mathbf{N}$ , la proposition résulte de la définition des multiplicités.

Corollaire

On suppose que B est plat sur A et que ρ(m_A) B = m_B. Alors

e_{q_B}^B(M \otimes_A B) = e_q^A(M).

Cela s’applique notamment lorsque B est le complété \* ou l’hensélisé \* de A relativement à un idéal distinct de A, \* ou un gonflement de A, par exemple un hensélisé strict de A. \*

Exemple

\* Soient X une variété algébrique complexe, $\mathscr{O}_{X,x}$ l’anneau local de X en un point rationnel x, $X^{an}$ l’espace analytique associé à X ; notons encore x le point de $X^{an}$ correspondant à x, et soit $\mathscr{O}_{X^{an},x}$ l’anneau local de $X^{an}$ en x. Alors $e(\mathscr{O}_{X^{an},x}) = e(\mathscr{O}_{X,x})$ . \

3. Multiplicités et extensions finies

Proposition 5

Supposons A semi-local et soit $\rho : A \to B$ un homomorphisme d’anneaux faisant de B un A-module de type fini. Soit N un B-module non nul de type fini et soit q un idéal de A contenu dans le radical de A, et tel que $N/qN$ soit de longueur finie. Parmi les idéaux maximaux de B (en nombre fini, d’après IV, § 2, no 5, cor. 3 à la prop. 9), notons $m_1, ..., m_r$ ceux pour lesquels on a $\dim_{B_{m_i}}(N_{m_i}) = \dim_B(N)$ . Posons $B_i = B_{m_i}$ et $q_i = qB_i$ pour $1 \leq i \leq r$ . Alors on a les égalités

\dim_A(N) = \dim_B(N),

e_{qB}^B(N) = \sum_{i=1}^r e_{q_i}^{B_i}(N_{m_i}),

e_q^A(N) = \sum_{i=1}^r [B/m_i : A/\rho^{-1}(m_i)]\ e_{q_i}^{B_i}(N_{m_i}).

La première égalité résulte de § 2, no 3, th. 1, c); la seconde résulte de la remarque 4 du no 1 (noter que $m_i$ appartient à $V(qB)$ pour $1 \leq i \leq r$ puisque $\rho^{-1}(m_i) \supset q$ d’après V, § 2, no 1, prop. 1). Démontrons la troisième égalité. Soit E un B-module de longueur finie; on a

\operatorname{long}_A(E) = \sum_m [B/m : A/\rho^{-1}(m)].\operatorname{long}_{B_m}(E_m),

$m$ parcourant l’ensemble des idéaux maximaux de B ; c’est en effet évident lorsque E est l’un des $B/m$ , et le cas général s’en déduit, puisque E possède une suite de composition dont les quotients sont isomorphes à des $B/m$ . Appliquant cette formule aux B-modules $N/q^{n+1}N$ , on en déduit l’égalité cherchée par définition des multiplicités.

Corollaire

Si $[B/m_i : A/\rho^{-1}(m_i)] = 1$ pour tout i, on a $e_q^A(N) = e_{qB}^B(N)$ .

Lemme 1

Soit $\rho : A \to B$ un homomorphisme d’anneaux, et soit $p$ un idéal premier de A. Considérons les deux propriétés suivantes : (i) l’homomorphisme canonique $\tilde{\rho}$ de $A_p$ dans $A_p \otimes_A B$ est bijectif; (ii) il existe un seul idéal premier $r$ de B au-dessus de $p$ et l’homomorphisme canonique $\rho_p$ de $A_p$ dans $B_r$ est bijectif. On a (i) $\Rightarrow$ (ii). Si $p$ est minimal, ou bien si B est entier sur A, on a (i) $\Leftrightarrow$ (ii) $^1$ .

1 Ce lemme reste valable lorsque l’anneau A n’est pas noethérien.

L’anneau $A_p \otimes_A B$ s’identifie à l’anneau de fractions $S^{-1}B$ de $B$ défini par la partie multiplicative $S = \rho(A - p)$ de $B$ . Les idéaux premiers de $S^{-1}B$ sont donc les $S^{-1}q$ , où $q$ est un idéal premier de $B$ tel que $\rho^{-1}(q) \subset p$ ; si $q$ est un tel idéal, $(S^{-1}B)_{S^{-1}q}$ s’identifie à $B_q$ (II, § 2, no 5, prop. 11).

Si la condition (i) est satisfaite, il existe (V, § 2, no 1, lemme 1) un unique idéal premier $r$ de $B$ tel que $\rho^{-1}(r) = p$ . De plus, $B_r$ s’identifie à l’anneau de fractions $(S^{-1}B)_{S^{-1}r}$ , donc aussi à $(A_p)_s$ , où $s$ est l’image réciproque de $S^{-1}r$ par l’isomorphisme $\tilde{\rho}: A_p \to S^{-1}B$ ; or $\tilde{\rho}^{-1}(S^{-1}r) = (A - p)^{-1}p = pA_p$ , d’où (ii).

Inversement, supposons (ii) satisfaite, et soit $r$ l’unique idéal premier de $B$ au-dessus de $p$ . Puisque $(S^{-1}B)_{S^{-1}r}$ s’identifie à $B_r$ , il suffit de prouver que $S^{-1}B$ est local d’idéal maximal $S^{-1}r$ , c’est-à-dire que tout idéal premier $q$ de $B$ tel que $\rho^{-1}(q) \subset p$ est contenu dans $r$ . Si $p$ est minimal, on a $\rho^{-1}(q) = p$ , donc $q = r$ . Si $B$ est entier sur $A$ , il existe d’après V, § 2, no 1, cor. 2 au th. 1, un idéal premier $r'$ de $B$ tel que $q \subset r'$ et $\rho^{-1}(r') = p$ ; on a nécessairement $r' = r$ , donc $q \subset r$ .

Lemme 2

Supposons $A$ semi-local ; soit $q$ un idéal de définition de $A$ , et soit $\rho : A \to B$ un homomorphisme d’anneaux faisant de $B$ un $A$ -module de type fini. Supposons que, pour tout idéal premier (nécessairement minimal) $p$ de $A$ tel que $\dim(A/p) = \dim(A)$ , il existe un unique idéal premier $r$ de $B$ au-dessus de $p$ et que l’homomorphisme canonique $\rho_p : A_p \to B_r$ soit bijectif. Alors on a $\dim_A(B) = \dim(A)$ et $e_q^A(B) = e_q^A(A)$ .

Soit $\mathfrak{S}_A$ (resp. $\mathfrak{S}_B$ ) l’ensemble des idéaux premiers $p$ de $A$ tels que

\dim(A/p) = \dim(A) \quad (\text{resp. } \dim_A(B/pB) = \dim_A(B));

on a $\mathfrak{S}_A \neq \varnothing$ . Soit $p \in \mathfrak{S}_A$ ; il existe par hypothèse un idéal premier de $B$ au-dessus de $p$ . On a alors $\rho^{-1}(pB) = p$ (II, § 2, no 5, cor. 3 à la prop. 11), et

\dim(A/p) = \dim(B/pB) = \dim_A(B/pB)

d’après le th. 1, b) et c) du § 2, no 3. Par suite, on a

\dim_A(B) \geq \dim_A(B/pB) = \dim(A/p) = \dim(A) \geq \dim_A(B).

Cela implique $\mathfrak{S}_A \subset \mathfrak{S}_B$ et $\dim(A) = \dim_A(B)$ . Inversement, si $p \in \mathfrak{S}_B$ , on a les inégalités

\dim_A(B/pB) = \dim_A(B) = \dim(A) \geq \dim(A/p) \geq \dim_A(B/pB),

d’où $p \in \mathfrak{S}_A$ et $\mathfrak{S}_B = \mathfrak{S}_A$ . D’après la prop. 3 du no 1 et son corollaire, on a

e_q^A(A) = \sum_{p \in \mathfrak{S}_A} e_q^A(A/p) \quad \text{et} \quad e_q^A(B) = \sum_{p \in \mathfrak{S}_B} \operatorname{long}_{A_p}(A_p \otimes_A B) e_q^A(A/p);

d’après le lemme 1, on a $\operatorname{long}_{A_p}(A_p \otimes_A B) = 1$ pour tout $p \in \mathfrak{S}_A$ , d’où $e_q^A(A) = e_q^A(B)$ .

Proposition 6

Supposons $A$ semi-local et réduit ; soit $q$ un idéal de définition de $A$ ; soit $A'$ l’anneau total des fractions de $A$ , et soit $B$ une sous-A-algèbre finie de $A'$ . Alors $B$ est semi-local et $qB$ en est un idéal de définition. Supposons que, pour tout idéal maximal m de B tel que dim(B_m) = dim(B), on ait [B/m : A/(A ∩ m)] = 1. Alors on a $e_q^A(A) = e_{q_B}^B(B)$ .

D’après IV, § 2, n° 5, cor. 3 de la prop. 9, B est semi-local d’idéal de définition qB. On a $e_{q_B}^B(B) = e_q^A(B)$ d’après le corollaire à la prop. 5. Comme A′ s’identifie à $\prod_p A_p$ où p parcourt l’ensemble des idéaux premiers minimaux de A (IV, § 2, n° 5, prop. 10), l’application canonique $A_p \to A_p \otimes_A B$ est bijective pour tout idéal premier minimal p de A. Il résulte alors des lemmes 1 et 2 que $e_q^A(B) = e_q^A(A)$ , d’où la proposition.

Exemple

Soit k un corps de caractéristique $\neq 2$ et prenons pour A l’anneau local $k[[X, Y]]/(X^2 + Y^2)$ de corps résiduel k. Prenons $B = k[[X, T]]/(T^2 + 1)$ où $T = Y/X$ . Distinguons deux cas : si — 1 est le carré d’un élément i de k, B possède deux idéaux maximaux engendrés respectivement par {X, T + i} et {X, T − i}, ils sont de corps résiduel k, et l’on a $e_{m_A}^A(A) = e_{m_{AB}}^B(B) = 2$ . Si — 1 n’est pas un carré dans k, B possède un unique idéal maximal (X) de corps résiduel $k[T]/(T^2 + 1)$ , et l’on a $e_{m_A}^A(A) = 2,\ e_{m_{AB}}^B(B) = 1$ .

4. Multiplicités et suites sécantes

Proposition 7

Supposons A local. Soit s un entier $\geq 1$ et, pour $1 \leq i \leq s$ , soient $\delta_i$ un entier $> 0$ , $x_i$ un élément de $m_A^{\delta_i}$ , et $\xi_i$ sa classe dans $m_A^{\delta_i}/m_A^{\delta_i+1}$ . On suppose que $(x_1, ..., x_s)$ est une suite sécante pour A. Notons x l’idéal de A engendré par $(x_1, ..., x_s)$ . Alors on a $e(A/x) \geq \delta_1 ... \delta_s \cdot e(A)$ avec égalité si $(\xi_1, ..., \xi_s)$ est une suite complètement sécante pour gr(A).

Posons $B = A/x$ , et considérons les séries formelles

H_A = \sum_{n \geq 0} \operatorname{long}(m_A^n/m_A^{n+1}) \cdot T^n, \quad H_B = \sum_{n \geq 0} \operatorname{long}(m_B^n/m_B^{n+1}) \cdot T^n

et $H_B^{(s)} = (1 - T)^{-s} H_B$ . D’après la prop. 6 du § 4, n° 5, on a dans $\mathbf{Z}[[T]]$ , l’inégalité

H_B^{(s)} \geq \left( \prod_{i=1}^s \frac{1 - T^{\delta_i}}{1 - T} \right) H_A,

et il y a égalité lorsque la suite $(\xi_1, ..., \xi_s)$ est complètement sécante. Mais

R(T) = \prod_{i=1}^s \frac{1 - T^{\delta_i}}{1 - T}

est un polynôme de $\mathbf{Z}[T]$ tel que $R(1) = \delta_1 ... \delta_s$ . Posons $\dim(A) = d$ ; on a $\dim(B) = d - s$ . D’après le th. 2 du § 4, n° 3, il existe des éléments $R_A$ et $R_B$ de $\mathbf{Z}[T, T^{-1}]$ tels que

H_A = (1 - T)^{-d} R_A(T), \quad R_A(1) = e(A),

H_B = (1 - T)^{-d+s} R_B(T), \quad R_B(1) = e(A/x).

Donc on a

(1 - T)^{-d} R_B(T) = H_B^{(s)} \geq \left( \prod_{i=1}^s \frac{1 - T^{\delta_i}}{1 - T} \right) H_A = (1 - T)^{-d} R(T) \, R_A(T),

et l’égalité a lieu si la suite

(\xi_1, ..., \xi_s)

est complètement sécante. On conclut par le lemme 2 du § 4, no 1.

Remarque

On peut montrer réciproquement (cf. p. 103, exerc. 4) que si A est régulier et $e(A/x) = \delta_1 ... \delta_s$ , alors la suite $(\xi_1, ..., \xi_s)$ est complètement sécante.

Exemple

Prenons pour A un anneau de séries formelles $k[[X_1, ..., X_n]]$ sur un corps $k$ ; soient $F_1, ..., F_s$ des éléments de A, à l’idéal qu’ils engendrent et B = A/a. Notons $P_1, ..., P_s \in k[X_1, ..., X_n]$ les formes initiales des séries $F_1, ..., F_s$ et $\delta_1, ..., \delta_s$ leurs degrés respectifs. Si la suite $F_1, ..., F_s$ est sécante dans A, on a $e(B) \geq \delta_1 ... \delta_s$ ; si la suite $P_1, ..., P_s$ est complètement sécante dans l’anneau $k[X_1, ..., X_n]$ , on a $e(B) = \delta_1 ... \delta_s$ .

Considérons par exemple l’anneau $B = k[[X, Y]]/a$ , où a est engendré par $X^2 + Y^3$ et $X^2 + Y^4$ ; l’inégalité précédente donne $e(B) \geq 4$ ; en remarquant que a est engendré par les éléments $X^2 + Y^3$ et $Y^4 - Y^3$ , pour lesquels la suite des formes initiales est complètement sécante, on obtient $e(B) = 6$ .

5. Éléments superficiels

Dans ce numéro on note q un idéal de A contenu dans le radical de A, et M un A-module non nul de type fini tel que $M/qM$ soit de longueur finie.

Proposition 8

Soient $\delta > 0$ un entier, x un élément de $q^\delta$ , $\xi$ sa classe dans $\mathrm{gr}_\delta(A) = q^\delta/q^{\delta+1}$ et $\varphi$ la multiplication par $\xi$ dans le gr(A)-module gr(M).

a) La dimension du A-module $M/xM$ est égale à $\dim_A(M)$ ou à $\dim_A(M) - 1$ . Dans le deuxième cas, on a $e_q(M/xM) \geq \delta e_q(M)$ .

b) Supposons que l’on ait $\dim_A(M) \geq 1$ et que le noyau de $\varphi$ soit de longueur finie sur $A/q$ . Alors on a $\dim_A(M/xM) = \dim_A(M) - 1$ . De plus : (i) Si $\dim_A(M) > 1$ , on a $e_q(M/xM) = \delta e_q(M)$ . (ii) Si $\dim_A(M) = 1$ , on a pour tout entier $n \geq 0$

n \delta e_q(M) \leq \mathrm{long}_A(M/x^nM) \leq n \delta e_q(M) + \mathrm{long}_{A/q}(\mathrm{Ker}\ \varphi^n),

où

\varphi^n

est le n-ième itéré de l’endomorphisme

\varphi

, et

\delta e_q(M) = e_{xA}(M) \leq \mathrm{long}_A(M/xM).

Posons $M'' = M/xM$ ; considérons les séries de Hilbert-Samuel $H_M = H_{M,q}$ et $H_{M''} = H_{M'',q}$ , ainsi que la série de Poincaré $P(T) = \sum_{n \geq 0} \mathrm{long}_{A/q}(\mathrm{Ker}\ \varphi_n) \cdot T^n$ . D’après § 4, no 3, th. 2 et no 4, remarque 2, on a

H_M(T) = (1 - T)^{-d} R_M(T), \quad H_{M''}(T) = (1 - T)^{-d''} R_{M''}(T),

avec $d = \dim_A(M)$ , $d'' = \dim_A(M'')$ , $R_M$ et $R_{M''}$ dans $\mathbf{Z}[T]$ , $R_M(1) = e_q(M)$ , $R_{M''}(1) = e_q(M'')$ . D’après le lemme 6 du § 4, n° 5, on a dans $\mathbf{Z}((T))$ les inégalités

(1 - T^\delta) H_M^{(1)} \leq H_{M''}^{(1)} \leq (1 - T^\delta) H_M^{(1)} + T^\delta P^{(1)} .

Posant $R(T) = (1 - T^\delta)/(1 - T) = 1 + T + \cdots + T^{\delta-1}$ , cela s’écrit aussi

(1)

(1 - T)^{-d} R(T) R_M(T) \leq (1 - T)^{-d''-1} R_{M''}(T) \leq

\leq (1 - T)^{-d} R(T) R_M(T) + (1 - T)^{-1} T^\delta P(T) .

D’après le lemme 2 du § 4, n° 1, la première inégalité (1) implique soit $d'' \geq d$ , soit $d'' = d - 1$ et $R(1) R_M(1) \leq R_{M''}(1)$ , c’est-à-dire $\delta e_q(M) \leq e_q(M'')$ . Cela démontre a), puisque $d'' \leq d$ .

Sous l’hypothèse de b), on a $P(T) \in \mathbf{Z}[T]$ et $P(1) = \operatorname{long}_A(\operatorname{Ker} \varphi)$ . La seconde inégalité (1) s’écrit

(1 - T)^{-d''-1} R_{M''}(T) \leq (1 - T)^{-d}(R(T) R_M(T) + T^\delta (1 - T)^{d-1} P(T)) .

Supposons qu’on ait $d > 1$ ; alors le lemme 2 du § 4, n° 1 entraîne $d'' + 1 \leq d$ , d’où $d'' = d - 1$ d’après la partie a) de la démonstration; on a alors

R_{M''}(1) \leq R(1). R_M(1)

(loc. cit.), d’où (i).

Supposons maintenant $d = 1$ . D’après loc. cit., on a $d'' = 0$ et

R_{M''}(1) \leq R(1). R_M(1) + P(1) .

Par conséquent, $M''$ est de longueur finie égale à $e_q(M'') = R_{M''}(1)$ et l’on obtient

(2)

\delta e_q(M) \leq \operatorname{long}_A(M/xM) \leq \delta e_q(M) + \operatorname{long}_A(\operatorname{Ker} \varphi) .

Soit $n \geq 1$ un entier. Remplaçons $x$ par $x^n$ dans (2); on a donc

(3)

n \delta e_q(M) \leq \operatorname{long}_A(M/x^nM) \leq n \delta e_q(M) + \operatorname{long}_A(\operatorname{Ker} \varphi^n) .

Il est immédiat que les sous-modules $\operatorname{Ker} \varphi^n$ du gr(A)-module noethérien gr(M) forment une suite croissante donc stationnaire et que chacun d’eux est de longueur finie sur $A/q$ . Divisant par $n \geq 1$ dans l’inégalité (3) et faisant tendre $n$ vers $+ \infty$ , on trouve $e_{xA}(M) = \delta e_q(M)$ par définition de $e_{xA}(M)$ .

Lemme 3

Soient $R$ un anneau noethérien gradué à degrés $\geq 0$ , $E$ un $R$ -module gradué de type fini tel que $E_n$ soit un $R_0$ -module de longueur finie pour tout $n \in \mathbf{Z}$ . Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) $E$ est un $R$ -module de longueur finie ; (ii) il existe un entier $n_0$ tel que $E_n = 0$ pour $n \geq n_0$ ; (iii) tout idéal premier de $R$ associé à $E$ contient $R_+ = \bigoplus_{n \geq 1} R_n$ .

(i) ⇔ (ii) : c’est clair. (iii) ⇒ (i) : soit $p$ un idéal premier associé à E. Si (iii) est satisfaite, on a $p = p_0 + R_+$ où $p_0$ est un idéal premier de $R_0$ , et le R-module $R/p$ est isomorphe à $R_0/p_0$ . D’après IV, § 3, no 1, corollaire de la prop. 1, le $R_0$ -module $R_0/p_0$ est isomorphe à un sous-module d’un des $E_k$ , donc est de longueur finie. Par conséquent, $R/p$ est de longueur finie. D’après IV, § 2, no 5, prop. 7, $p$ est donc maximal. Vu l’arbitraire de $p$ , le R-module E est de longueur finie (loc. cit.). (i) ⇒ (iii) : soit $p$ un idéal premier associé à E. Alors $p$ est gradué (IV, § 3, no 1, prop. 1) et maximal (IV, § 2, no 5, prop. 7), donc contient $R_+$ (§ 6, no 2, lemme 1).

Proposition 9

Notons $p_1, ..., p_r$ ceux des idéaux premiers de l’anneau gradué $\mathrm{gr}(A) = \bigoplus_n (q^n/q^{n+1})$ qui sont associés au module gradué $\mathrm{gr}(M) = \bigoplus_n (q^n M/q^{n+1} M)$ et ne contiennent pas $\mathrm{gr}_1(A) = q/q^2$ . Soient $\delta$ un entier $> 0$ , $\xi$ un élément de $\mathrm{gr}_\delta(A)$ , et $\varphi : \mathrm{gr}(M) \to \mathrm{gr}(M)$ l’homothétie de rapport $\xi$ dans $\mathrm{gr}(M)$ . Pour que $\varphi_n$ soit injective pour tout $n$ assez grand, il faut et il suffit que $\xi$ n’appartienne à aucun des $p_i$ . En effet, les idéaux premiers associés au $\mathrm{gr}(A)$ -module $\mathrm{Ker}\, \varphi$ sont ceux des idéaux premiers associés à $\mathrm{gr}(M)$ qui contiennent $\xi$ (IV, § 1, no 1, déf. 1). D’après le lemme 3, $(\mathrm{Ker}\, \varphi)_n$ est nul pour $n$ assez grand, si et seulement si ces idéaux contiennent tous $\mathrm{gr}_+(A)$ (ou ce qui revient au même $\mathrm{gr}_1(A)$ ), d’où la proposition.

Définition 2

Soient A un anneau noethérien, q un idéal de A contenu dans le radical de A et M un A-module de type fini tel que $M/qM$ soit de longueur finie. Un élément x de A est dit superficiel pour M relativement à q s’il appartient à q et si, pour tout $n$ assez grand, l’application $q^n M/q^{n+1} M \to q^{n+1} M/q^{n+2} M$ induite par la multiplication par x est injective.

Remarque 1

Soit $\delta$ un entier $> 0$ . On dit parfois qu’un élément x de A est superficiel d’ordre $\delta$ pour M relativement à q si $x \in q^\delta$ , et si, pour tout $n$ assez grand, l’application $q^n M/q^{n+1} M \to q^{n+\delta} M/q^{n+\delta+1} M$ induite par la multiplication par x est injective. Avec cette terminologie, les éléments superficiels au sens de la déf. 2 sont les éléments superficiels d’ordre 1.

Remarque 2

Avec les notations de la prop. 9, x est superficiel d’ordre $\delta$ si et seulement si sa classe $\xi$ dans $\mathrm{gr}_\delta(A)$ n’appartient à aucun des $p_i$ .

Remarque 3

D’après III, § 1, no 4, prop. 8, il existe un élément homogène de $\mathrm{gr}(A)$ de degré $> 0$ qui n’appartient à aucun des $p_i$ . Par conséquent, il existe un entier $\delta > 0$ et un élément superficiel d’ordre $\delta$ pour M.

Remarque 4

Supposons A local de corps résiduel k, et considérons l’application surjective canonique $\lambda : q \to q \otimes_A k$ . Elle est la composée des applications canoniques $q \to q/q^2$ et $\bar{\lambda} : q/q^2 \to q \otimes_A k$ . D’après le lemme de Nakayama, chacun des sous-espaces vectoriels $V_i = \bar{\lambda}(p_i \cap (q/q^2))$ de $q \otimes_A k$ est distinct de $q \otimes_A k$ ; si $\alpha \in q \otimes_A k$ n’appartient à aucun des $V_i$ , alors $\lambda^{-1}(\alpha)$ est formé d’éléments superficiels pour M (prop. 9). Si k est infini, la réunion des $V_i$ est distincte de $q \otimes_A k$ et il existe donc des éléments superficiels pour M.

Théorème 1

Soient $A$ un anneau noethérien, $q$ un idéal de $A$ contenu dans le radical de $A$ et $M$ un $A$ -module de type fini tel que $M/qM$ soit de longueur finie. Soit $x_1, ..., x_m$ une suite finie d’éléments de $q$ . Posons $x = Ax_1 + \cdots + Ax_m \subset q$ .

a) On a $\dim_A(M/xM) \geq \dim_A(M) - m$ .

b) Si $\dim_A(M/xM) = \dim_A(M) - m$ , alors $e_q(M/xM) \geq e_q(M)$ .

c) Si $m < \dim_A(M)$ , et si pour $i = 1, ..., m$ , l’élément $x_i$ de $A$ est superficiel pour $M/(x_1M + \cdots + x_{i-1}M)$ relativement à $q$ , alors on a

\dim_A(M/xM) = \dim_A(M) - m \quad \text{et} \quad e_q(M/xM) = e_q(M) .

d) Si $m = \dim_A(M)$ , et si, pour $i = 1, ..., m$ , l’élément $x_i$ de $A$ est superficiel pour $M/(x_1M + \cdots + x_{i-1}M)$ relativement à $q$ , alors on a

e_q(M) = e_x(M) \leq \operatorname{long}(M/xM) < + \infty .

Les parties $a), b),$ et c) résultent pour $m = 1$ de la prop. 8, et le cas général s’en déduit par récurrence. Supposons les hypothèses de d) satisfaites et posons $x' = Ax_1 + \cdots + Ax_{m-1}$ et $M' = M/x'M$ de sorte que $M/xM$ s’identifie à $M'/x_mM'$ . Alors, d’après c), on a $\dim_A(M') = 1$ et $e_q(M) = e_q(M')$ . D’après la prop. 8, $M/xM$ est de longueur finie et l’on a $e_q(M') = e_{x_mA}(M') \leq \operatorname{long}(M/xM)$ . Mais, puisque $x_m^nM' = x^nM'$ pour tout $n$ , on a $e_{x_mA}(M') = e_x(M')$ . On a par ailleurs $e_x(M') \geq e_x(M)$ : cela résulte de b) où l’on remplace $m$ par $m - 1$ , $x$ par $x'$ et $q$ par $x$ . Par conséquent, on a

e_x(M) \leq e_x(M') = e_{x_mA}(M') = e_q(M') = e_q(M) .

Puisque $x$ est contenu dans $q$ , cela implique $e_x(M) = e_q(M)$ (n° 1, remarque 1), et achève la démonstration.

Corollaire

Supposons $A$ local, à corps résiduel infini, et posons $d = \dim_A(M)$ . Il existe une suite $x_1, ..., x_d$ d’éléments de $q$ tels que, en posant $x = Ax_1 + \cdots + Ax_d$ , on ait

e_q(M) = e_x(M) \leq \operatorname{long}(M/xM) < + \infty .

Cela résulte aussitôt du théorème et de la remarque 4.

Remarque 5

Dans la situation du corollaire précédent, on a

e_q(M) = e_x(M) \leq \operatorname{long}(M/xM)

et $\operatorname{long}(M/qM) \leq \operatorname{long}(M/xM)$ ; les trois cas

e_q(M) < \operatorname{long}(M/qM) , \quad e_q(M) = \operatorname{long}(M/qM) , \quad e_q(M) > \operatorname{long}(M/qM)

sont possibles (p. 106, exerc. 16 et 17).

Exercises

Exercices

See the exercises for § 7.