Chapitre IX

Anneaux locaux noethériens complets

Dans ce chapitre, tous les anneaux sont supposés commutatifs ; les algèbres sont associatives, commutatives et unifères. On note $1_A$ l’élément unité d’un anneau $A$.

Si $A$ est un anneau et $\mathfrak{p}$ un idéal premier de $A$, on note $\kappa(\mathfrak{p})$ le corps résiduel de l’anneau local $A_{\mathfrak{p}}$. Si l’anneau $A$ est local, on note $m_A$ son idéal maximal et $\kappa_A$ ou $\kappa(m_A)$ son corps résiduel.

On dit qu’un homomorphisme d’anneaux $\rho : A \to B$ est plat (resp. fidèlement plat) s’il fait de $B$ un $A$-module plat (resp. fidèlement plat). Rappelons (I, § 3, no 5, prop. 9) que si $A$ et $B$ sont locaux, $\rho$ est fidèlement plat si et seulement s’il est plat et local.