Chương IX

Các vành địa phương Noether đầy đủ

Trong chương này, mọi vành đều được giả thiết là giao hoán; các đại số là kết hợp, giao hoán và có phần tử đơn vị. Ta ký hiệu $1_A$ là phần tử đơn vị của một vành $A$.

Nếu $A$ là một vành và $\mathfrak{p}$ là một iđêan nguyên tố của $A$, ta ký hiệu $\kappa(\mathfrak{p})$ là trường thặng dư của vành địa phương $A_{\mathfrak{p}}$. Nếu vành $A$ là địa phương, ta ký hiệu $m_A$ là iđêan cực đại của nó và $\kappa_A$ hoặc $\kappa(m_A)$ là trường thặng dư của nó.

Một đồng cấu vành $\rho : A \to B$ được gọi là phẳng (tương ứng phẳng trung thành) nếu nó biến $B$ thành một $A$-môđun phẳng (tương ứng phẳng trung thành). Nhắc lại (I, § 3, no 5, Mệnh đề 9) rằng nếu $A$ và $B$ là địa phương, $\rho$ là phẳng trung thành khi và chỉ khi nó là phẳng và địa phương.