Bourbaki

§ 1. Vectơ Witt

Trong suốt đoạn này, pp ký hiệu một số nguyên tố.

1. Các đa thức Witt

Với mọi số nguyên n⩾0n \geqslant 0, người ta gọi đa thức Witt thứ nn là phần tử Φn\Phi_n của Z[X0,...,Xn]\mathbf{Z}[X_0, ..., X_n] được xác định bởi

Φn(X0,...,Xn)=∑i=0npiXipn−i=X0pn+pX1pn−1+⋯+pnXn. \Phi_n(X_0, ..., X_n) = \sum_{i=0}^n p^i X_i^{p^{n-i}} = X_0^{p^n} + p X_1^{p^{n-1}} + \cdots + p^n X_n .

Ta hiển nhiên có Φ0=X0\Phi_0 = X_0 và các hệ thức truy hồi

Φn+1(X0,...,Xn+1)=Φn(X0p,...,Xnp)+pn+1Xn+1 \Phi_{n+1}(X_0, ..., X_{n+1}) = \Phi_n(X_0^p, ..., X_n^p) + p^{n+1} X_{n+1}
Φn+1(X0,...,Xn+1)=X0pn+1+pΦn(X1,...,Xn+1). \Phi_{n+1}(X_0, ..., X_{n+1}) = X_0^{p^{n+1}} + p \Phi_n(X_1, ..., X_{n+1}) .

Khi gán cho XiX_i trọng số pip^i, đa thức Φn\Phi_n là đẳng trọng của trọng số pnp^n (A, IV, p. 3).

Mệnh đề 1

Cho A là một vành lọc và (Jn)n∈Z(\mathbf{J}_n)_{n \in \mathbf{Z}} là phép lọc của nó. Giả sử rằng có J0=A\mathbf{J}_0 = \mathbf{A} và p.1A∈J1p.1_A \in \mathbf{J}_1. Cho m và n là các số nguyên sao cho m⩾1m \geqslant 1 và n⩾0n \geqslant 0, và cho a0,...,an,b0,...,bna_0, ..., a_n, b_0, ..., b_n là các phần tử của A.

a) Nếu có ai≡bimod  Jma_i \equiv b_i \mod \mathbf{J}_m với 0⩽i⩽n0 \leqslant i \leqslant n, thì có

Φi(a0,...,ai)≡Φi(b0,...,bi)mod  Jm+icho 0⩽i⩽n. \Phi_i(a_0, ..., a_i) \equiv \Phi_i(b_0, ..., b_i) \mod \mathbf{J}_{m+i} \quad \text{cho } 0 \leqslant i \leqslant n .

b) Giả sử rằng, với mọi số nguyên k⩾1k \geqslant 1, và mọi x∈Ax \in \mathbf{A}, quan hệ p.x∈Jk+1p.x \in \mathbf{J}_{k+1} kéo theo x∈Jkx \in \mathbf{J}_k. Nếu có Φi(a0,...,ai)≡Φi(b0,...,bi)mod  Jm+i\Phi_i(a_0, ..., a_i) \equiv \Phi_i(b_0, ..., b_i) \mod \mathbf{J}_{m+i} với 0⩽i⩽n0 \leqslant i \leqslant n, thì có ai≡bimod  Jma_i \equiv b_i \mod \mathbf{J}_m với 0⩽i⩽n0 \leqslant i \leqslant n.

Bổ đề 1

Nếu x và y là hai phần tử của A đồng dư modulo Jm\mathbf{J}_m, ta có

xpn≡ypnmod  Jm+n. x^{p^n} \equiv y^{p^n} \mod \mathbf{J}_{m+n} .
Bằng quy nạp theo n, ta quy về trường hợp n=1n = 1. Gọi P là đa thức ∑i=0p−1XiYp−1−i\sum_{i=0}^{p-1} X^i Y^{p-1-i} của Z[X,Y]\mathbf{Z}[X, Y]. Theo giả thiết đã đặt ra đối với x và y, ta có P(x,y)≡P(x,x)≡p.xp−1mod  JmP(x, y) \equiv P(x, x) \equiv p.x^{p-1} \mod \mathbf{J}_m. Khi đó có Jm+p.A⊂J1\mathbf{J}_m + p.\mathbf{A} \subset \mathbf{J}_1, do đó P(x,y)∈J1P(x, y) \in \mathbf{J}_1. Cuối cùng, xp−yp=(x−y)P(x,y)x^p - y^p = (x - y) P(x, y) thuộc về JmJ1⊂Jm+1\mathbf{J}_m \mathbf{J}_1 \subset \mathbf{J}_{m+1}.

Ta chứng minh a) bằng quy nạp theo n. Trường hợp n=0n = 0 là ngay lập tức. Giả sử n⩾1n \geqslant 1. Theo các giả thiết của a), ta có (4) aip≡bipmod  Jm+1a_i^p \equiv b_i^p \mod \mathbf{J}_{m+1} với 0⩽i⩽n−10 \leqslant i \leqslant n-1 theo Bổ đề 1 , (5) Φn−1(a0p,...,an−1p)≡Φn−1(b0p,...,bn−1p)mod  Jm+n\Phi_{n-1}(a_0^p, ..., a_{n-1}^p) \equiv \Phi_{n-1}(b_0^p, ..., b_{n-1}^p) \mod \mathbf{J}_{m+n} theo giả thiết quy nạp được áp dụng cho các phần tử a0p,...,an−1p,b0p,...,bn−1pa_0^p, ..., a_{n-1}^p, b_0^p, ..., b_{n-1}^p của A, và (6) Φn(a0,...,an)−pn.an≡Φn(b0,...,bn)−pn.bnmod  Jm+n\Phi_n(a_0, ..., a_n) - p^n.a_n \equiv \Phi_n(b_0, ..., b_n) - p^n.b_n \mod \mathbf{J}_{m+n} theo các công thức (2) và (5). Vì an−bna_n - b_n thuộc về Jm\mathbf{J}_m, phần tử pn.an−pn.bnp^n.a_n - p^n.b_n thuộc về Jm+n\mathbf{J}_{m+n} và từ (6) suy ra đồng dư thức

Φn(a0,...,an)≡Φn(b0,...,bn)mod  Jm+n, \Phi_n(a_0, ..., a_n) \equiv \Phi_n(b_0, ..., b_n) \mod \mathbf{J}_{m+n} ,
do đó a).

Ta hãy chứng minh b) bằng quy nạp theo n. Trường hợp n=0n = 0 là ngay lập tức. Giả sử n⩾1n \geqslant 1. Theo các giả thiết của b), ta có ai≡bimod  Jma_i \equiv b_i \mod \mathbf{J}_m với 0⩽i⩽n−10 \leqslant i \leqslant n-1 theo giả thiết quy nạp, và từ đó, như trước đây, ta suy ra các đồng dư (4), (5) và (6). Nhưng theo giả thiết Φn(a0,...,an)\Phi_n(a_0, ..., a_n) và Φn(b0,...,bn)\Phi_n(b_0, ..., b_n) đồng dư mod. Jm+n\mathbf{J}_{m+n}, và do đó ta có pn.(an−bn)∈Jm+np^n.(a_n - b_n) \in \mathbf{J}_{m+n}. Vì quan hệ p.x∈Jk+1p.x \in \mathbf{J}_{k+1} kéo theo x∈Jkx \in \mathbf{J}_k đối với mọi x∈Ax \in \mathbf{A} và mọi k⩾1k \geqslant 1, ta có an−bn∈Jma_n - b_n \in \mathbf{J}_m, điều này hoàn tất chứng minh.

2. Các ánh xạ f,vf, v và Φ\Phi

Cho A là một vành. Trang bị AN\mathbf{A}^\mathbf{N} cấu trúc vành tích. Ký hiệu bởi fAf_A, hoặc đơn giản là ff, tự đồng cấu (an)n∈N↦(an+1)n∈N(a_n)_{n \in \mathbf{N}} \mapsto (a_{n+1})_{n \in \mathbf{N}} của AN\mathbf{A}^\mathbf{N}. Ký hiệu bởi vAv_A, hoặc đơn giản là vv, tự đồng cấu của nhóm cộng nền của AN\mathbf{A}^{\mathbf{N}} gán (0,p⋅a0,p⋅a1,...)(0, p \cdot a_0, p \cdot a_1, ...) với (an)n∈N(a_n)_{n \in \mathbf{N}}.

Với mỗi số nguyên m⩾0m \geqslant 0, ký hiệu bởi Φm\Phi_m ánh xạ từ AN\mathbf{A}^{\mathbf{N}} vào A\mathbf{A} gán Φm(a0,...,am)\Phi_m(a_0, ..., a_m) với a=(an)n∈Na = (a_n)_{n \in \mathbf{N}}. Ta ký hiệu bởi ΦA\Phi_A, hoặc đơn giản là Φ\Phi, ánh xạ a↦(Φn(a))n∈Na \mapsto (\Phi_n(a))_{n \in \mathbf{N}} từ AN\mathbf{A}^{\mathbf{N}} vào chính nó.

Bổ đề 2

Cho A\mathbf{A} là một vành được trang bị một tự đồng cấu σ\sigma thỏa mãn σ(a)≡apmod  .p⋅A\sigma(a) \equiv a^p \mod. p \cdot \mathbf{A} đối với mọi a∈Aa \in \mathbf{A}. Cho n⩾1n \geqslant 1 là một số nguyên và cho a0,...,an−1a_0, ..., a_{n-1} là các phần tử của A\mathbf{A}. Đặt ui=Φi(a0,...,ai)u_i = \Phi_i(a_0, ..., a_i) với 0⩽i⩽n−10 \leqslant i \leqslant n - 1. Cho unu_n là một phần tử của A\mathbf{A}. Các điều kiện sau là tương đương:

a) Tồn tại an∈Aa_n \in \mathbf{A} sao cho un=Φn(a0,...,an)u_n = \Phi_n(a_0, ..., a_n).

b) Ta có σ(un−1)≡unmod  .pn⋅A\sigma(u_{n-1}) \equiv u_n \mod. p^n \cdot \mathbf{A}.

Với 0⩽i⩽n−10 \leqslant i \leqslant n - 1, ta có σ(ai)≡aipmod  .p⋅A\sigma(a_i) \equiv a_i^p \mod. p \cdot \mathbf{A}. Theo mệnh đề 1 của no. 1 được áp dụng cho trường hợp Jk=pk⋅AJ_k = p^k \cdot \mathbf{A} (với k∈Nk \in \mathbf{N}) và m=1m = 1, ta có đồng dư

Φn−1(σ(a0),...,σ(an−1))≡Φn−1(a0p,...,an−1p)mod  .pn⋅A, \Phi_{n-1}(\sigma(a_0), ..., \sigma(a_{n-1})) \equiv \Phi_{n-1}(a_0^p, ..., a_{n-1}^p) \mod. p^n \cdot \mathbf{A},

nghĩa là

σ(un−1)≡Φn−1(a0p,...,an−1p)mod  .pn⋅A. \sigma(u_{n-1}) \equiv \Phi_{n-1}(a_0^p, ..., a_{n-1}^p) \mod. p^n \cdot \mathbf{A}.

Bây giờ, theo công thức (2), quan hệ un=Φn(a0,...,an)u_n = \Phi_n(a_0, ..., a_n) tương đương với

un=Φn−1(a0p,...,an−1p)+pn⋅an. u_n = \Phi_{n-1}(a_0^p, ..., a_{n-1}^p) + p^n \cdot a_n.

Bổ đề được suy ra.

Mệnh đề 2

Cho A\mathbf{A} là một vành.

(a) Nếu p⋅1Ap \cdot 1_A không là một ước của 0 trong A\mathbf{A}, ánh xạ ΦA\Phi_A là đơn ánh.

(b) Nếu p⋅1Ap \cdot 1_A khả nghịch trong A\mathbf{A}, ánh xạ ΦA\Phi_A là song ánh.

(c) Nếu σ\sigma là một tự đồng cấu của vành A\mathbf{A}, thỏa mãn σ(a)≡apmod  .p⋅A\sigma(a) \equiv a^p \mod. p \cdot \mathbf{A} với mọi a∈Aa \in \mathbf{A}, ảnh A′\mathbf{A}' của ΦA\Phi_A là một vành con của AN\mathbf{A}^{\mathbf{N}}, ổn định dưới fAf_A và vAv_A. Nó là tập hợp các phần tử (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbf{N}} của AN\mathbf{A}^{\mathbf{N}} sao cho σ(un)≡un+1mod  .pn+1⋅A\sigma(u_n) \equiv u_{n+1} \mod. p^{n+1} \cdot \mathbf{A} với mọi n∈Nn \in \mathbf{N}.

Nếu a=(an)n∈Na = (a_n)_{n \in \mathbf{N}} và u=(un)n∈Nu = (u_n)_{n \in \mathbf{N}} là các phần tử của AN\mathbf{A}^{\mathbf{N}}, quan hệ ΦA(a)=u\Phi_A(a) = u là tương đương, theo công thức (2), với các đẳng thức

{u0=a0,un=Φn−1(a0p,...,an−1p)+pn⋅anvới mọi n⩾1. \begin{cases} u_0 = a_0, \\ u_n = \Phi_{n-1}(a_0^p, ..., a_{n-1}^p) + p^n \cdot a_n & \text{với mọi } n \geqslant 1. \end{cases}

Cho u=(un)n∈Nu = (u_n)_{n \in \mathbf{N}} thuộc AN\mathbf{A}^{\mathbf{N}}. Khi p⋅1Ap \cdot 1_A không là một ước của 0 trong A\mathbf{A} (tương ứng. khi p⋅1Ap \cdot 1_A khả nghịch trong A\mathbf{A}), tồn tại nhiều nhất một dãy (an)n∈N(a_n)_{n \in \mathbf{N}} trong A\mathbf{A} (tương ứng. đúng một dãy (an)n∈N(a_n)_{n \in \mathbf{N}} trong A\mathbf{A}) thỏa mãn các đẳng thức (10), do đó có a) và b).

Ta chứng minh c). Theo Bổ đề 2, ảnh A′\mathbf{A}' của AN\mathbf{A}^{\mathbf{N}} qua ΦA\Phi_A là tập hợp các u=(un)n∈Nu = (u_n)_{n \in \mathbf{N}} trong AN\mathbf{A}^{\mathbf{N}} sao cho σ(un)≡un+1mod  .pn+1⋅A\sigma(u_n) \equiv u_{n+1} \mod. p^{n+1} \cdot \mathbf{A} với mọi n∈Nn \in \mathbf{N}. Suy ra ngay lập tức rằng A′\mathbf{A}' là một vành con của AN\mathbf{A}^{\mathbf{N}}, ổn định dưới fAf_A và vAv_A.

Nhận xét

Cho a=(an)n∈Na = (a_n)_{n \in \mathbf{N}} và u=(un)n∈Nu = (u_n)_{n \in \mathbf{N}} là các phần tử của ANA^\mathbf{N} sao cho u=ΦA(a)u = \Phi_A(a), và cho mm là một số nguyên ⩾0\geqslant 0. Từ (10) suy ra các khẳng định sau:

Nếu các unu_n, với 0⩽n⩽m0 \leqslant n \leqslant m, thuộc một vành con BB của AA và nếu, với mọi x∈Ax \in A, quan hệ p.x∈Bp.x \in B kéo theo x∈Bx \in B, thì các ana_n, với 0⩽n⩽m0 \leqslant n \leqslant m, thuộc BB.

Nếu AA được trang bị một phép phân bậc kiểu N\mathbf{N}, nếu p.1Ap.1_A không là một ước của 0 trong AA, nếu d∈Nd \in \mathbf{N} và nếu unu_n là thuần nhất có bậc dpndp^n với 0⩽n⩽m0 \leqslant n \leqslant m, thì ana_n là thuần nhất có bậc dpndp^n với 0⩽n⩽m0 \leqslant n \leqslant m.

3. Phép dựng các đa thức

Cho AA là vành Z[X,Y]\mathbf{Z}[X, Y] các đa thức với hệ số nguyên trong hai họ các bất định X=(Xn)n∈NX = (X_n)_{n \in \mathbf{N}} và Y=(Yn)n∈NY = (Y_n)_{n \in \mathbf{N}}. Cho θ\theta là tự đồng cấu của AA được xác định bởi θ(Xn)=Xnp\theta(X_n) = X_n^p và θ(Yn)=Ynp\theta(Y_n) = Y_n^p với mọi n∈Nn \in \mathbf{N}. Khi đó pp không là một ước của 0 trong AA và tập hợp các aa trong AA sao cho θ(a)≡apmod  .p.A\theta(a) \equiv a^p \mod. p.A là một vành con của AA chứa các XnX_n và các YnY_n, do đó bằng chính AA.

Theo mệnh đề 2, a) và c) của số 2, tồn tại các phần tử S=(Sn)n∈N,P=(Pn)n∈N,I=(In)n∈NS = (S_n)_{n \in \mathbf{N}}, P = (P_n)_{n \in \mathbf{N}}, I = (I_n)_{n \in \mathbf{N}} và F=(Fn)n∈NF = (F_n)_{n \in \mathbf{N}} của ANA^\mathbf{N} được đặc trưng tương ứng bởi các đẳng thức

{ΦA(S)=ΦA(X)+ΦA(Y)ΦA(P)=ΦA(X)ΦA(Y)ΦA(I)=−ΦA(X)ΦA(F)=fA(ΦA(X)) \left\{ \begin{array}{l} \Phi_A(S) = \Phi_A(X) + \Phi_A(Y) \\ \Phi_A(P) = \Phi_A(X) \Phi_A(Y) \\ \Phi_A(I) = - \Phi_A(X) \\ \Phi_A(F) = f_A(\Phi_A(X)) \end{array} \right.

Các phần tử Sn,Pn,InS_n, P_n, I_n và FnF_n của AA vì thế được đặc trưng bởi các công thức sau (trong đó nn chạy qua N\mathbf{N}):

(12)

Φn(S0,...,Sn)=Φn(X0,...,Xn)+Φn(Y0,...,Yn), \Phi_n(S_0, ..., S_n) = \Phi_n(X_0, ..., X_n) + \Phi_n(Y_0, ..., Y_n),
(13)
Φn(P0,...,Pn)=Φn(X0,...,Xn)Φn(Y0,...,Yn), \Phi_n(P_0, ..., P_n) = \Phi_n(X_0, ..., X_n) \Phi_n(Y_0, ..., Y_n),
(14)
Φn(I0,...,In)=−Φn(X0,...,Xn), \Phi_n(I_0, ..., I_n) = - \Phi_n(X_0, ..., X_n),
(15)
Φn(F0,...,Fn)=Φn+1(X0,...,Xn+1). \Phi_n(F_0, ..., F_n) = \Phi_{n+1}(X_0, ..., X_{n+1}).

Gán cho XnX_n và YnY_n trọng số pnp^n với mọi n∈Nn \in \mathbf{N}. Ta suy ra từ nhận xét của số 2 các khẳng định sau:

a) Ta có Sn∈Z[X0,...,Xn,Y0,...,Yn]S_n \in \mathbf{Z}[X_0, ..., X_n, Y_0, ..., Y_n] và SnS_n là đẳng trọng có trọng số pnp^n. b) Ta có Pn∈Z[X0,...,Xn,Y0,...,Yn]P_n \in \mathbf{Z}[X_0, ..., X_n, Y_0, ..., Y_n] và PnP_n là đẳng trọng có trọng số pnp^n trong mỗi họ (X0,...,Xn)(X_0, ..., X_n) và (Y0,...,Yn)(Y_0, ..., Y_n). c) Ta có In∈Z[X0,...,Xn]I_n \in \mathbf{Z}[X_0, ..., X_n] và InI_n là đẳng trọng có trọng số pnp^n. d) Ta có Fn∈Z[X0,...,Xn+1]F_n \in \mathbf{Z}[X_0, ..., X_{n+1}] và FnF_n là đẳng trọng có trọng số pn+1p^{n+1}.

Công thức (2) cho phép trong thực tế xác định lần lượt các đa thức Sn,Pn,InS_n, P_n, I_n và FnF_n.

Ví dụ 1

Ta có

S0=X0+Y0 S_0 = X_0 + Y_0
S1=X1+Y1−∑i=1p−11p(pi)X0iY0p−i. S_1 = X_1 + Y_1 - \sum_{i=1}^{p-1} \frac{1}{p} \binom{p}{i} X_0^i Y_0^{p-i}.

Hơn nữa, Sn−Xn−YnS_n - X_n - Y_n thuộc về vành Z[X0,...,Xn−1,Y0,...,Yn−1]\mathbf{Z}[X_0, ..., X_{n-1}, Y_0, ..., Y_{n-1}].

Ví dụ 2

Ta có

P0=X0Y0 P_0 = X_0 Y_0
P1=pX1Y1+X0pY1+X1Y0p. P_1 = p X_1 Y_1 + X_0^p Y_1 + X_1 Y_0^p.

Ví dụ 3

Khi p≠2p \neq 2, ta có In=−XnI_n = - X_n. Với p=2p = 2, ta có

I0=−X0 I_0 = - X_0
I1=−(X02+X1) I_1 = - (X_0^2 + X_1)
I2=−X04−X02X1−X12−X2. I_2 = - X_0^4 - X_0^2 X_1 - X_1^2 - X_2.

Ví dụ 4

Ta có

F0=X0p+pX1 F_0 = X_0^p + p X_1
F1=X1p+pX2−∑i=0p−1(pi)pp−i−1X0piX1p−i. F_1 = X_1^p + p X_2 - \sum_{i=0}^{p-1} \binom{p}{i} p^{p-i-1} X_0^{pi} X_1^{p-i}.

Vì ta có Φn(F0,...,Fn)≡Φn(X0p,...,Xnp)mod  .pn+1\Phi_n(F_0, ..., F_n) \equiv \Phi_n(X_0^p, ..., X_n^p) \mod. p^{n+1}. Và với mọi n∈Nn \in \mathbf{N} (các công thức (2) và (15)), suy ra từ mệnh đề 1, b) rằng ta có Fn≡Xnpmod  .pF_n \equiv X_n^p \mod. p. Và với mọi n∈Nn \in \mathbf{N}.

Nhận xét

Cho JJ là tập hợp các số nguyên j≥1j \geq 1. Với mỗi phần tử jj của JJ, định nghĩa đa thức φj\varphi_j của Z[(Xj)j∈J]\mathbf{Z}[(X_j)_{j \in J}] bởi công thức

φj=∑ddXdj/d, \varphi_j = \sum_d d X_d^{j/d},

trong đó tổng được lấy trên các phần tử của JJ chia hết jj. Với mỗi số nguyên n≥0n \geq 0, ta có

φpn=Φn(Xp0,...,Xpn). \varphi_{p^n} = \Phi_n(X_{p^0}, ..., X_{p^n}).

Với mỗi vành AA và mỗi phần tử mm của JJ, ta ký hiệu bởi φm\varphi_m ánh xạ từ AJA^J vào AA gán cho (aj)j∈J(a_j)_{j \in J} phần tử φm((aj)j∈J)\varphi_m((a_j)_{j \in J}); ta ký hiệu bởi φA\varphi_A, hoặc đơn giản là φ\varphi, ánh xạ từ AJA^J vào chính nó gán cho a=(aj)j∈Ja = (a_j)_{j \in J} (φm(a))m∈J(\varphi_m(a))_{m \in J}.

Cho A=Z[(Xj)j∈J,(Yj)j∈J]\mathscr{A} = \mathbf{Z}[(X_j)_{j \in J}, (Y_j)_{j \in J}] là vành các đa thức với hệ số nguyên theo hai họ biến bất định X=(Xj)j∈JX = (X_j)_{j \in J} và Y=(Yj)j∈JY = (Y_j)_{j \in J}. Người ta có thể chỉ ra (p. 51, bài tập 34) rằng tồn tại trong A\mathscr{A} các phần tử

s=(sj)j∈J,p=(pj)j∈Jvaˋi=(ij)j∈J, s = (s_j)_{j \in J}, \quad p = (p_j)_{j \in J} \quad \text{và} \quad i = (i_j)_{j \in J},

được đặc trưng bởi các đẳng thức sau:

φA(s)=φA(X)+φA(Y) \varphi_{\mathscr{A}}(s) = \varphi_{\mathscr{A}}(\mathbf{X}) + \varphi_{\mathscr{A}}(\mathbf{Y})
φA(p)=φA(X)φA(Y) \varphi_{\mathscr{A}}(p) = \varphi_{\mathscr{A}}(\mathbf{X}) \varphi_{\mathscr{A}}(\mathbf{Y})
φA(i)=−φA(X). \varphi_{\mathscr{A}}(i) = - \varphi_{\mathscr{A}}(\mathbf{X}) .

4. Vành W(A) của các vectơ Witt

Cho A là một vành. Nếu a=(an)n∈Na = (a_n)_{n \in \mathbf{N}} và b=(bn)n∈Nb = (b_n)_{n \in \mathbf{N}} là các phần tử của ANA^\mathbf{N}, ta sẽ ký hiệu bởi SA(a,b)S_A(a, b) (tương ứng PA(a,b)P_A(a, b), tương ứng IA(a)I_A(a)) hoặc đơn giản là S(a,b)S(a, b) (tương ứng P(a,b)P(a, b), tương ứng I(a)I(a)) dãy (Sn(a0,...,an;b0,...,bn))n∈N(S_n(a_0, ..., a_n; b_0, ..., b_n))_{n \in \mathbf{N}} (tương ứng (Pn(a0,...,an;b0,...,bn))n∈N(P_n(a_0, ..., a_n; b_0, ..., b_n))_{n \in \mathbf{N}}, tương ứng (In(a0,...,an))n∈N(I_n(a_0, ..., a_n))_{n \in \mathbf{N}}). Bằng cách thay ana_n cho XnX_n và bnb_n cho YnY_n, với mọi n∈Nn \in \mathbf{N}, trong các công thức (12), (13) và (14), ta thu được các đẳng thức

(16)

ΦA(SA(a,b))=ΦA(a)+ΦA(b) \Phi_A(S_A(a, b)) = \Phi_A(a) + \Phi_A(b)
(17)
ΦA(PA(a,b))=ΦA(a)ΦA(b) \Phi_A(P_A(a, b)) = \Phi_A(a) \Phi_A(b)
(18)
ΦA(IA(a))=−ΦA(a). \Phi_A(I_A(a)) = - \Phi_A(a) .

Ta sẽ ký hiệu bởi W(A) tập hợp ANA^\mathbf{N} được trang bị các luật hợp thành SAS_A và PAP_A.

Cho ρ:B→A\rho : B \to A là một đồng cấu vành. Ta sẽ ký hiệu bởi ρN\rho^\mathbf{N} hoặc cũng bởi W(ρ\rho) ánh xạ từ BNB^\mathbf{N} vào ANA^\mathbf{N} gán cho phần tử b=(bn)n∈Nb = (b_n)_{n \in \mathbf{N}} của BNB^\mathbf{N} phần tử (ρ(bn))n∈N(\rho(b_n))_{n \in \mathbf{N}}. Từ các định nghĩa suy ra ngay lập tức rằng ta có

(19)

W(ρ)∘SB=SA∘(W(ρ)×W(ρ)) W(\rho) \circ S_B = S_A \circ (W(\rho) \times W(\rho))
(20)
W(ρ)∘PB=PA∘(W(ρ)×W(ρ)) W(\rho) \circ P_B = P_A \circ (W(\rho) \times W(\rho))
(21)
W(ρ)∘IB=IA∘W(ρ) W(\rho) \circ I_B = I_A \circ W(\rho)
(22)
ρN∘ΦB=ΦA∘W(ρ). \rho^\mathbf{N} \circ \Phi_B = \Phi_A \circ W(\rho) .

Bổ đề 3

Cho A là một vành. Tồn tại một đồng cấu toàn ánh của các vành ρ:B→A\rho : B \to A, trong đó B là một vành thỏa mãn các điều kiện sau: p không là một ước của 0 trong B, và tồn tại một tự đồng cấu σ\sigma của B sao cho σ(b)≡bpmod  .p.B\sigma(b) \equiv b^p \mod. p.B với mọi b∈Bb \in B.

Thật vậy, chỉ cần đặt B=Z[(Xa)a∈A]B = \mathbf{Z}[(X_a)_{a \in A}], lấy σ\sigma là tự đồng cấu của B được xác định bởi σ(Xa)=Xap\sigma(X_a) = X_a^p với mọi a∈Aa \in A, và lấy ρ\rho là đồng cấu từ B vào A được xác định bởi ρ(Xa)=a\rho(X_a) = a với mọi a∈Aa \in A.

Định lý 1

a) Cho A là một vành (giao hoán). Được trang bị phép cộng SAS_A và phép nhân PAP_A, W(A) là một vành (giao hoán). Phần tử đơn vị đối với phép cộng là dãy 0A0_A mà tất cả các số hạng của nó đều bằng không; phần tử đơn vị đối với phép nhân là dãy 1A1_A mà tất cả các số hạng của nó đều bằng không ngoại trừ số hạng có chỉ số 0 bằng 1A1_A. Phần tử đối của một phần tử a của W(A) là IA(a)I_A(a).

b) Cho ρ:B→A\rho : B \to A là một đồng cấu của các vành. Khi đó W(ρ):W(B)→W(A)W(\rho) : W(B) \to W(A) là một đồng cấu của các vành.

c) Cho AA là một vành. Ánh xạ ΦA\Phi_A là một đồng cấu của các vành từ W(A)W(A) vào vành tích ANA^\mathbf{N}. Đặc biệt, với mọi n∈Nn \in \mathbf{N}, ánh xạ Φn:a↦Φn(a0,...,an)\Phi_n : a \mapsto \Phi_n(a_0, ..., a_n) là một đồng cấu của các vành từ W(A)W(A) vào AA.

Xét đến các công thức (16), (17), (19) và (20), chỉ cần chứng minh mệnh đề aa.

Cho ρ:B→A\rho : B \to A là một đồng cấu của các vành thỏa mãn các điều kiện của Bổ đề 3. Gọi B′B' là vành con của BNB^\mathbf{N} được tạo thành bởi các phần tử (bn)n∈N(b_n)_{n \in \mathbf{N}} sao cho σ(bn)≡bn+1mod  .pn+1\sigma(b_n) \equiv b_{n+1} \mod. p^{n+1}.B với mọi n∈Nn \in \mathbf{N}. Theo Mệnh đề 2 của No. 2, ΦB\Phi_B cảm sinh một song ánh ΦB′\Phi'_B từ W(B)W(B) lên B′B'. Được xem như từ các công thức (16) đến (18) và các quan hệ Φn(0B)=0\Phi_n(0_B) = 0 và Φn(1B)=1B\Phi_n(1_B) = 1_B (n∈Nn \in \mathbf{N}), ta thấy bằng phép chuyển cấu trúc rằng W(B)W(B) là một vành, với phần tử đơn vị 0B0_B đối với phép cộng, 1B1_B đối với phép nhân, phần tử đối của bb là IB(b)I_B(b).

Ánh xạ W(ρ):W(B)→W(A)W(\rho) : W(B) \to W(A) là toàn ánh. Theo các công thức (19) và (20), quan hệ tương đương R trên W(B)W(B) liên kết với ánh xạ W(ρ)W(\rho) tương thích với cấu trúc vành của W(B)W(B). Vì W(ρ)W(\rho) cảm sinh một song ánh Ψ\Psi từ vành thương W(B)/RW(B)/R lên W(A)W(A), tương thích với các luật của phép cộng và phép nhân, nên mệnh đề aa suy ra từ đây bằng phép chuyển cấu trúc.

Định nghĩa 1

Cho AA là một vành. Vành W(A)W(A) được gọi là vành các vectơ Witt với các hệ số trong AA.

Đối với aa trong W(A)W(A) và nn trong N\mathbf{N}, phần tử Φn(a)=Φn(a0,...,an)\Phi_n(a) = \Phi_n(a_0, ..., a_n) đôi khi được gọi là thành phần ma của chỉ số nn của aa.

Nhận xét

Ta nhắc lại các ký hiệu của nhận xét ở No. 3. Cho AA là một vành. Nếu aa và bb là các phần tử của AJA^J và r=(rj)j∈Jr = (r_j)_{j \in J} là một phần tử của AJA^J, ta ký hiệu bởi rA(a,b)r_A(a, b) phần tử (rj(a,b))j∈J(r_j(a, b))_{j \in J} của AJA^J. Ta ký hiệu bởi U(A)U(A) tập hợp AJA^J được trang bị các luật hợp thành sAs_A và pAp_A. Có thể chỉ ra (p. 52, Bài tập 35) rằng, được trang bị phép cộng sAs_A và phép nhân pAp_A, U(A)U(A) là một vành (giao hoán); nó được gọi là vành Witt phổ quát của AA. Phần tử đơn vị đối với phép cộng là phần tử của U(A)U(A) mà mọi thành phần của nó đều bằng không; phần tử đơn vị đối với phép nhân là phần tử của U(A)U(A) mà mọi thành phần của nó đều bằng không ngoại trừ thành phần có chỉ số 1 bằng 1A1_A; phần tử đối của một phần tử aa của U(A)U(A) là iA(a)i_A(a). Ánh xạ φA\varphi_A là một đồng cấu vành từ U(A)U(A) vào vành tích AJA^J.

Cho ρ:B→A\rho : B \to A là một đồng cấu vành; ta ký hiệu bởi U(ρ)U(\rho) ánh xạ từ BJB^J vào AJA^J gán cho phần tử (bj)j∈J(b_j)_{j \in J} của BJB^J phần tử (ρ(bj))j∈J(\rho(b_j))_{j \in J} của AJA^J. Có thể chỉ ra (ntd.) rằng U(ρ)U(\rho) là một đồng cấu vành từ U(B)U(B) vào U(A)U(A).

5. Đồng cấu F và phép dịch V

Cho AA là một vành. Trong phần tiếp theo của đoạn này, ta lần lượt ký hiệu bởi ++ và ×\times các luật phép cộng và phép nhân trong W(A)W(A). Ta cũng sẽ viết 00 thay cho 0A0_A và 11 thay cho 1A1_A. Ta định nghĩa 1^1 hai ánh xạ FAF_A và VAV_A (cũng ký hiệu đơn giản bởi FF và VV) từ W(A)W(A) vào chính nó bởi các công thức

(23)FA(a)=(Fn(a0,...,an+1))n∈N, (23) \quad F_A(a) = (F_n(a_0, ..., a_{n+1}))_{n \in \mathbf{N}},
(24)VA(a)=(0,a0,a1,...) (24) \quad V_A(a) = (0, a_0, a_1, ...)

(cho a=(an)n∈Na = (a_n)_{n \in \mathbf{N}} trong W(A)W(A)). Ánh xạ VAV_A được gọi là phép dịch.

Công thức

(25)Φn(F0(a),...,Fn(a))=Φn+1(a0,...,an+1)(n∈N) (25) \quad \Phi_n(F_0(a), ..., F_n(a)) = \Phi_{n+1}(a_0, ..., a_{n+1}) \quad (n \in \mathbf{N})
suy ra ngay lập tức từ (15). Nó cũng có thể được viết dưới dạng
(26)ΦA∘FA=fA∘ΦA. (26) \quad \Phi_A \circ F_A = f_A \circ \Phi_A .
Công thức
(27)ΦA∘VA=vA∘ΦA (27) \quad \Phi_A \circ V_A = v_A \circ \Phi_A
suy ra từ quan hệ (3).

Cho ρ:B→A\rho : B \to A là một đồng cấu của các vành. Các hệ thức

(28)W(ρ)∘FB=FA∘W(ρ) (28) \quad W(\rho) \circ F_B = F_A \circ W(\rho)
(29)W(ρ)∘VB=VA∘W(ρ) (29) \quad W(\rho) \circ V_B = V_A \circ W(\rho)
suy ra ngay lập tức từ các định nghĩa.

Mệnh đề 3

Cho A là một vành.* a) Ánh xạ FAF_A là một tự đồng cấu của vành W(A)W(A). b) Ánh xạ VAV_A là một tự đồng cấu của nhóm cộng nằm dưới vành W(A)W(A). c) Với mọi aa trong W(A)W(A), ta có FA(VA(a))=p.aF_A(V_A(a)) = p.a (tổng trong W(A)W(A) của pp số hạng bằng aa). d) Cho dù aa và bb trong W(A)W(A) là gì, ta đều có

(30)VA(a×FA(b))=VA(a)×b (30) \quad V_A(a \times F_A(b)) = V_A(a) \times b
(31)VA(a)×VA(b)=p.VA(a×b) (31) \quad V_A(a) \times V_A(b) = p.V_A(a \times b)
(tổng trong W(A)W(A) của pp số hạng bằng VA(a×b)V_A(a \times b)). e) Đặt μ=VA(1)=(0,1,0,...)\mu = V_A(1) = (0, 1, 0, ...). Với mọi bb trong W(A)W(A), ta có
(32)VA(FA(b))=μ×b. (32) \quad V_A(F_A(b)) = \mu \times b .

1^1 Chữ cái FF là chữ cái đầu của tên Frobenius, và chữ cái VV là chữ cái đầu của từ tiếng Đức Verschiebung.

f) Với mọi phần tử aa của W(A)W(A), ký hiệu a∗pa^{*p} là tích trong W(A)W(A) của pp phần tử bằng aa. Khi đó ta có

(33)FA(a)≡a∗pmod  .p.W(A)(iđeˆan của W(A) sinh bởi p.1). (33) \quad F_A(a) \equiv a^{*p} \mod. p.W(A) \quad (\text{iđêan của } W(A) \text{ sinh bởi } p.\mathbf{1}) .

Cho ρ:B→A\rho : B \to A là một đồng cấu của các vành thỏa mãn các điều kiện của Bổ đề 3 của No. 4. Khi đó W(ρ):W(B)→W(A)W(\rho) : W(B) \to W(A) là một đồng cấu toàn ánh của các vành, và ΦB:W(B)→BN\Phi_B : W(B) \to B^N là một đơn cấu của các vành. Hơn nữa, fB:BN→BNf_B : B^N \to B^N là một đồng cấu của các vành. Theo các công thức (26) và (28), ta có

ΦB∘FB=fB∘ΦB,W(ρ)∘FB=FA∘W(ρ), \Phi_B \circ F_B = f_B \circ \Phi_B, \quad W(\rho) \circ F_B = F_A \circ W(\rho),

do đó ngay lập tức có mệnh đề aa. Mệnh đề bb suy ra theo cách tương tự từ các công thức (27) và (29) và từ sự kiện rằng vBv_B là một tự đồng cấu của nhóm cộng nằm dưới BNB^N.

Cho aa là một phần tử của W(A)W(A), và chọn một phần tử xx của W(B)W(B) mà W(ρ)W(\rho) ánh xạ toàn ánh lên aa. Đặt ξ=ΦB(x)\xi = \Phi_B(x). Từ các định nghĩa của fBf_B và vBv_B, suy ra ngay lập tức rằng ta có fB(vB(ξ))=p.ξf_B(v_B(\xi)) = p.\xi (tổng trong BNB^N của pp số hạng bằng ξ\xi). Theo các công thức (26) và (27) (trong đó A được thay bởi B), các phần tử FB(VB(x))F_B(V_B(x)) và p.xp.x của W(B)W(B) do đó có cùng ảnh p.ξp.\xi qua ánh xạ đơn cấu ΦB\Phi_B, và vì thế chúng bằng nhau. Công thức FA(VA(a))=p.aF_A(V_A(a)) = p.a sau đó suy ra từ các quan hệ (28) và (29). Điều này chứng minh cc.

Lập luận theo cách tương tự, ta rút gọn chứng minh của công thức (30) về chứng minh của quan hệ

vB(ξfB(η))=vB(ξ)η v_B(\xi f_B(\eta)) = v_B(\xi) \eta

đối với ξ,η\xi, \eta trong BNB^N. Bây giờ điều này suy ra từ các đẳng thức

ξfB(η)=(ξ0η1,ξ1η2,...) \xi f_B(\eta) = (\xi_0 \eta_1, \xi_1 \eta_2, ...)
vB(ξ)η=(0,pξ0η1,pξ1η2,...) v_B(\xi) \eta = (0, p\xi_0 \eta_1, p\xi_1 \eta_2, ...)

Có tính đến bb và cc, công thức (31) suy ra từ công thức (30), trong đó bb được thay bởi VA(b)V_A(b). Công thức (32) là trường hợp riêng a=1a = 1 của công thức (30).

Theo cách tương tự, ta rút gọn chứng minh của công thức (33) về chứng minh của quan hệ

fB(ξ)≡ξpmod  .p.ΦB(BN), f_B(\xi) \equiv \xi^p \mod. p.\Phi_B(B^N),

trong đó ξp\xi^p chỉ tích trong BNB^N của pp phần tử bằng ξ\xi. Theo Mệnh đề 2, c) của No. 2, điều này tương đương với việc với mọi n⩾0n \geqslant 0, ta có

σ(ξn+1−ξnp)≡ξn+2−ξn+1pmod  .pn+2B. \sigma(\xi_{n+1} - \xi_n^p) \equiv \xi_{n+2} - \xi_{n+1}^p \mod. p^{n+2}B .

Bây giờ, với mọi n⩾0n \geqslant 0, theo loc. cit., ta có

σ(ξn)≡ξn+1mod  .pn+1B \sigma(\xi_n) \equiv \xi_{n+1} \mod. p^{n+1}B

vì ξ=ΦB(x)\xi = \Phi_B(x); từ đó, nhờ Bổ đề 1 của No. 1, suy ra

σ(ξn)p≡ξn+1pmod  .pn+2B. \sigma(\xi_n)^p \equiv \xi_{n+1}^p \mod. p^{n+2}\mathbf{B}.

Điều này chứng minh quan hệ cần chứng minh.

Nhận xét

Để biết định nghĩa các ánh xạ tương tự các ánh xạ F và V, trong trường hợp của vành Witt phổ quát, xem các bài tập 36, 37 và 38, p. 52 và các trang tiếp theo.

6. Lọc và tôpô của vành W(A)

Bổ đề 4

Cho A là một vành và m ⩾1\geqslant 1 là một số nguyên. Ta có

(34)

a=(a0,...,am−1,0,...)+(0,...,0⏟m soˆˊ hạng,am,am+1,...) a = (a_0, ..., a_{m-1}, 0, ...) + (\underbrace{0, ..., 0}_{m \text{ số hạng}}, a_m, a_{m+1}, ...)
với mọi aa trong W(A).

Cho ρ:B→A\rho : B \to A là một đồng cấu vành thỏa mãn các điều kiện của Bổ đề 3 của No. 4. Khi đó W(ρ):W(B)→W(A)W(\rho) : W(B) \to W(A) là một đồng cấu toàn ánh của các vành, và ΦB:W(B)→BN\Phi_B : W(B) \to B^N là một đồng cấu đơn ánh. Vì thế, chỉ cần chứng minh rằng ta có

(35)

Φn(b)=Φn(b0,...,bm−1,0,...)+Φn(0,...,0,bm,bm+1,...) \Phi_n(b) = \Phi_n(b_0, ..., b_{m-1}, 0, ...) + \Phi_n(0, ..., 0, b_m, b_{m+1}, ...)
với bất kỳ bb nào trong W(B) và các số nguyên m⩾1,n⩾0m \geqslant 1, n \geqslant 0. Bây giờ ta có

Φn(b0,...,bm−1,...)=Φn(b0,...,bn)neˆˊu0⩽n<m \Phi_n(b_0, ..., b_{m-1}, ...) = \Phi_n(b_0, ..., b_n) \quad \text{nếu} \quad 0 \leqslant n < m
=∑i=0m−1pi⋅bipn−ineˆˊum⩽n = \sum_{i=0}^{m-1} p^i \cdot b_i^{p^{n-i}} \quad \text{nếu} \quad m \leqslant n
Φn(0,...,0,bm,bm+1,...)=0neˆˊu0⩽n<m \Phi_n(0, ..., 0, b_m, b_{m+1}, ...) = 0 \quad \text{nếu} \quad 0 \leqslant n < m
=∑i=mnpi⋅bipn−ineˆˊum⩽n, = \sum_{i=m}^n p^i \cdot b_i^{p^{n-i}} \quad \text{nếu} \quad m \leqslant n,
do đó công thức (35).

Cho A là một vành. Với mọi số nguyên m⩾0m \geqslant 0, ký hiệu Vm(A)V_m(A) là tập hợp các vectơ Witt a=(an)n∈Na = (a_n)_{n \in \mathbf{N}} sao cho an=0a_n = 0 với 0⩽n<m0 \leqslant n < m. Nó là ảnh của lũy thừa thứ m VmV^m của ánh xạ VAV_A. Các công thức

(36)

Vm(a+b)=Vm(a)+Vm(b) V^m(a + b) = V^m(a) + V^m(b)
(37)
Vm(a)×b=Vm(a×Fm(b)) V^m(a) \times b = V^m(a \times F^m(b))
suy ra từ mệnh đề 3 của No. 5 bằng quy nạp theo mm. Chúng kéo theo rằng Vm(A)V_m(A) là một iđêan của W(A).

Trong phần tiếp theo, ta sẽ trang bị cho W(A)W(A) tôpô T\mathscr{T} liên kết với lọc (Vm(A))m∈Z(V_m(A))_{m \in \mathbf{Z}}. Vì Vm(A)V_m(A) là một iđêan của W(A)W(A) với mọi m∈Zm \in \mathbf{Z}, tôpô T\mathscr{T} tương thích với cấu trúc vành của W(A)W(A) (TG, III, p. 49, ví dụ 3). Cho a∈W(A)a \in W(A); các tập hợp a+Vm(A)a + V_m(A), trong đó mm chạy qua N\mathbf{N}, tạo thành một hệ cơ bản các lân cận của aa đối với T\mathscr{T}. Bây giờ, từ bổ đề 4 suy ra rằng a+Vm(A)a + V_m(A) gồm các vectơ Witt bb sao cho ai=bia_i = b_i với 0≤i<m0 \leq i < m. Do đó, T\mathscr{T} không gì khác ngoài tôpô tích trên ANA^\mathbf{N} của tôpô rời rạc trên mỗi nhân tử, và vì thế W(A)W(A) là một vành tôpô tách biệt và đầy đủ (TG, II, p. 17, mệnh đề 10 và TG, III, p. 22, mệnh đề 4).

Ký hiệu τA\tau_A (hoặc đơn giản là τ\tau) là ánh xạ của AA vào W(A)W(A) liên kết với một phần tử aa của AA phần tử (a,0,0,...)(a, 0, 0, ...) . Ta có Φn(τ(a))=apn\Phi_n(\tau(a)) = a^{p^n} với mọi n∈Nn \in \mathbf{N}. Với mọi đồng cấu vành ρ:B→A\rho : B \to A, ta có W(ρ)∘τB=τA∘ρW(\rho) \circ \tau_B = \tau_A \circ \rho.

Mệnh đề 4

Cho aa và bb thuộc AA và cho x=(xn)n∈Nx = (x_n)_{n \in \mathbf{N}} là một phần tử của W(A)W(A).

a) Ta có các công thức

τ(ab)=τ(a)×τ(b) \tau(ab) = \tau(a) \times \tau(b)
τ(a)×x=(apnxn)n∈N. \tau(a) \times x = (a^{p^n} x_n)_{n \in \mathbf{N}}.

b) Chuỗi có số hạng tổng quát Vn(τ(xn))V^n(\tau(x_n)) là hội tụ trong W(A)W(A), với tổng là xx. Cho nn là một số nguyên dương. Đa thức Pn(X0,...,Xn;Y0,...,Yn)P_n(X_0, ..., X_n; Y_0, ..., Y_n) được đưa vào trong No. 3 là đẳng trọng số với trọng số pnp^n trong họ (X0,...,Xn)(X_0, ..., X_n) khi XiX_i được gán trọng số pip^i. Do đó

Pn(X0,0,...,0;Y0,...,Yn)=X0pnPn(1,0,...,0;Y0,...,Yn). P_n(X_0, 0, ..., 0; Y_0, ..., Y_n) = X_0^{p^n} P_n(1, 0, ..., 0; Y_0, ..., Y_n).
Vì 1=(1,0,0,...)1 = (1, 0, 0, ...) là phần tử đơn vị của vành các vectơ Witt với các hệ số trong Z[(Xn)n∈N,(Yn)n∈N]\mathbf{Z}[(X_n)_{n \in \mathbf{N}}, (Y_n)_{n \in \mathbf{N}}], ta có
Pn(1,0,...,0;Y0,...,Yn)=Yn. P_n(1, 0, ..., 0; Y_0, ..., Y_n) = Y_n.
Bằng cách thay aa vào chỗ X0X_0 và xix_i vào chỗ YiY_i, ta suy ra từ (40) và (41) quan hệ:
Pn(a,0,...,0;x0,...,xn)=apnxn. P_n(a, 0, ..., 0; x_0, ..., x_n) = a^{p^n} x_n.
Theo định nghĩa của phép nhân trong W(A)W(A), ta đã chứng minh (39); công thức (38) là một trường hợp riêng của (39).

Ta hãy chứng minh b). Theo định nghĩa, Vn(τ(xn))V^n(\tau(x_n)) là dãy mà tất cả các thành phần của nó đều bằng không, trừ thành phần có chỉ số nn, thành phần này bằng xnx_n. Suy ra từ Bổ đề 4, bằng quy nạp theo mm, rằng ta có

∑n=0mVn(τ(xn))=(x0,...,xm,0,0,...) \sum_{n=0}^m V^n(\tau(x_n)) = (x_0, ..., x_m, 0, 0, ...)

với mọi số nguyên m≥0m \geq 0; ta suy ra b) bằng cách chuyển qua giới hạn vì tôpô T\mathscr{T} trên W(A)W(A) là tích của các tôpô rời rạc của các thừa số AA.

7. Các vành Wn(A)W_n(A) của các vectơ Witt có độ dài hữu hạn

Định nghĩa 2

Cho AA là một vành và cho n≥1n \geq 1 là một số nguyên. Ta ký hiệu bởi Wn(A)W_n(A) vành thương W(A)/Vn(A)W(A)/V_n(A).

Cho các phần tử a0,...,an−1a_0, ..., a_{n-1} của AA, ta ký hiệu bởi [a0,...,an−1][a_0, ..., a_{n-1}] hoặc [ai]0≤i<n[a_i]_{0 \leq i < n} lớp modulo Vn(A)V_n(A) của phần tử (a0,...,an−1,0,0,...)(a_0, ..., a_{n-1}, 0, 0, ...) của W(A)W(A). Theo Bổ đề 4 của No. 6, ánh xạ (a0,...,an−1)↦[a0,...,an−1](a_0, ..., a_{n-1}) \mapsto [a_0, ..., a_{n-1}] từ AnA^n vào Wn(A)W_n(A) là một song ánh. Vì lý do này, ta nói rằng các phần tử của Wn(A)W_n(A) là các vectơ Witt có độ dài nn; bằng phép tương tự, đôi khi người ta gọi các phần tử của W(A)W(A) là các vectơ Witt có độ dài vô hạn.

Ta ký hiệu bởi πn\pi_n đồng cấu chính tắc từ W(A)W(A) vào Wn(A)W_n(A). Theo Bổ đề 4 của No. 6, ta có

πn(a)=[a0,...,an−1] \pi_n(a) = [a_0, ..., a_{n-1}]
với mọi a=(an)n∈Na = (a_n)_{n \in \mathbf{N}} trong W(A)W(A).

Theo định nghĩa của các phép toán trong W(A)W(A), ta có mô tả sau đây về các phép toán trong Wn(A)W_n(A):

[a0,...,an−1]+[b0,...,bn−1]=[Si(a0,...,ai;b0,...,bi)]0≤i<n [a_0, ..., a_{n-1}] + [b_0, ..., b_{n-1}] = [S_i(a_0, ..., a_i; b_0, ..., b_i)]_{0 \leq i < n}
[a0,...,an−1]×[b0,...,bn−1]=[Pi(a0,...,ai;b0,...,bi)]0≤i<n [a_0, ..., a_{n-1}] \times [b_0, ..., b_{n-1}] = [P_i(a_0, ..., a_i; b_0, ..., b_i)]_{0 \leq i < n}
−[a0,...,an−1]=[Ii(a0,...,ai)]0≤i<n. - [a_0, ..., a_{n-1}] = [I_i(a_0, ..., a_i)]_{0 \leq i < n}.

Hơn nữa, phần tử đơn vị của phép cộng trong Wn(A)W_n(A) là [0,...,0][0, ..., 0] và phần tử đơn vị của phép nhân là [1,0,...,0][1, 0, ..., 0].

Cho ii là một số nguyên sao cho 0≤i≤n0 \leq i \leq n. Bằng cách chuyển qua thương, đồng cấu Φi\Phi_i từ W(A)W(A) vào AA xác định một đồng cấu Φi\Phi_i từ Wn(A)W_n(A) vào AA. Điều này gắn với vectơ Witt [a0,...,an−1][a_0, ..., a_{n-1}] phần tử Φi(a0,...,ai)\Phi_i(a_0, ..., a_i) của AA (còn được gọi là thành phần ma có chỉ số ii của [a0,...,an−1][a_0, ..., a_{n-1}]).

Cho ρ:B→A\rho : B \to A là một đồng cấu vành. Bằng cách chuyển qua các thương, đồng cấu W(ρ)W(\rho) từ W(B)W(B) vào W(A)W(A) xác định một đồng cấu Wn(ρ)W_n(\rho) từ Wn(B)W_n(B) vào Wn(A)W_n(A). Nó được mô tả bởi công thức

Wn(ρ)[b0,...,bn−1]=[ρ(b0),...,ρ(bn−1)] W_n(\rho)[b_0, ..., b_{n-1}] = [\rho(b_0), ..., \rho(b_{n-1})]
với mọi [b0,...,bn−1][b_0, ..., b_{n-1}] trong Wn(B)W_n(B).

Cho mm và nn là hai số nguyên sao cho 1≤n≤m1 \leq n \leq m. Ta có Vn(A)⊃Vm(A)V_n(A) \supset V_m(A), do đó một đồng cấu chính tắc từ Wm(A)=W(A)/Vm(A)W_m(A) = W(A)/V_m(A) lên Wn(A)=W(A)/Vn(A)W_n(A) = W(A)/V_n(A); đồng cấu này sẽ được ký hiệu là πn,m\pi_{n,m}. Tường minh, ta có

πn,m[a0,...,am−1]=[a0,...,an−1] \pi_{n,m}[a_0, ..., a_{m-1}] = [a_0, ..., a_{n-1}]

với [a0,...,am−1][a_0, ..., a_{m-1}] trong Wm(A)W_m(A). Họ (Wn(A),πn,m)(W_n(A), \pi_{n,m}) là một hệ xạ ảnh các vành và ánh xạ π:a↦(πn(a))n≥1\pi : a \mapsto (\pi_n(a))_{n \geq 1} là một đồng cấu vành từ W(A)W(A) vào lim⁡←Wn(A)\lim_{\leftarrow} W_n(A), được gọi là chính tắc. Vì W(A)W(A) là tách được và đầy đủ đối với lọc (Vn(A))n∈Z(V_n(A))_{n \in \mathbf{Z}} (cf. No. 6), đồng cấu chính tắc π\pi là một đẳng cấu của các vành tôpô, khi Wn(A)W_n(A) được trang bị tôpô rời rạc với mọi số nguyên n≥1n \geq 1 (III, § 2, No. 6).

Kể từ nay, các đồng cấu πn\pi_n và πn,m\pi_{n,m} sẽ được gọi là các đồng cấu phép chiếu từ W(A)W(A) vào Wn(A)W_n(A), và từ Wm(A)W_m(A) vào Wn(A)W_n(A) tương ứng.

Ví dụ 1

Đồng cấu Φ0:W1(A)→A\Phi_0 : W_1(A) \to A là một đẳng cấu.

Ví dụ 2

Ta hãy mô tả tường minh các phép toán trong W2(A)W_2(A). Ta có

[a0,a1]+[b0,b1]=[a0+b0,a1+b1−∑i=1p−11p(pi)a0ib0p−i] [a_0, a_1] + [b_0, b_1] = \left[ a_0 + b_0, a_1 + b_1 - \sum_{i=1}^{p-1} \frac{1}{p} \binom{p}{i} a_0^i b_0^{p-i} \right]
[a0,a1]×[b0,b1]=[a0b0,a0pb1+a1b0p+p⋅a1b1] [a_0, a_1] \times [b_0, b_1] = [a_0 b_0, a_0^p b_1 + a_1 b_0^p + p \cdot a_1 b_1]

với [a0,a1][a_0, a_1] và [b0,b1][b_0, b_1] trong W2(A)W_2(A). Các thành phần ma của [a0,a1][a_0, a_1] là a0a_0 và a0p+p⋅a1a_0^p + p \cdot a_1.

Ví dụ 3

Cho n≥1n \geq 1 là một số nguyên. Nếu a0,...,an−1,b0,...,bn−1a_0, ..., a_{n-1}, b_0, ..., b_{n-1} là các số nguyên sao cho ai≡bi mod pa_i \equiv b_i \bmod p với 0≤i<n0 \leq i < n, ta có (No. 1, Mệnh đề 1)

Φn−1(a0,...,an−1)≡Φn−1(b0,...,bn−1) mod pn. \Phi_{n-1}(a_0, ..., a_{n-1}) \equiv \Phi_{n-1}(b_0, ..., b_{n-1}) \bmod p^n.

Do đó, Φn−1\Phi_{n-1} xác định qua phép chuyển qua các thương một đồng cấu vành φn:Wn(Z/pZ)→Z/pnZ\varphi_n : W_n(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}) \to \mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z}. Ảnh của φn\varphi_n là một nhóm con của Z/pnZ\mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z} chứa 1, do đó φn\varphi_n là toàn ánh. Vì các tập hợp hữu hạn Wn(Z/pZ)W_n(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}) và Z/pnZ\mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z} có cùng lực lượng pnp^n, φn\varphi_n là một đẳng cấu.

Cho mm và nn là các số nguyên sao cho 1≤n≤m1 \leq n \leq m. Tồn tại một đồng cấu vành duy nhất αn,m:Z/pmZ→Z/pnZ\alpha_{n,m} : \mathbf{Z}/p^m\mathbf{Z} \to \mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z}; do đó biểu đồ

Z/pmZ→αn,mZ/pnZφm↑φn↑Wm(Z/pZ)→πn,mWn(Z/pZ) \begin{array}{ccc} \mathbf{Z}/p^m\mathbf{Z} & \xrightarrow{\alpha_{n,m}} & \mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z} \\ \varphi_m \uparrow & & \varphi_n \uparrow \\ W_m(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}) & \xrightarrow{\pi_{n,m}} & W_n(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}) \end{array}

là giao hoán. Suy ra rằng φ=lim⁡φn\varphi = \lim \varphi_n là một đẳng cấu của các vành tôpô từ W(Z/pZ)=lim⁡←Wn(Z/pZ)W(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}) = \lim_{\leftarrow} W_n(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}) lên Zp=lim⁡←Z/pnZ\mathbf{Z}_p = \lim_{\leftarrow} \mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z} (III, § 2, No. 12, ví dụ 3).

Cho mm và nn là hai số nguyên ≥1\geq 1. Theo phép dựng, ta có một dãy khớp của các nhóm cộng

(E)

0⟶W(A)→νmW(A)→πmWm(A)⟶0. 0 \longrightarrow W(A) \xrightarrow{\nu^m} W(A) \xrightarrow{\pi_m} W_m(A) \longrightarrow 0.

Qua phép chuyển qua các thương, tự đồng cấu VnV^n của nhóm cộng của W(A)W(A) xác định một đồng cấu VmnV^n_m của nhóm cộng của Wm(A)W_m(A) vào nhóm cộng của Wm+n(A)W_{m+n}(A). Nói cách khác, ta có một biểu đồ giao hoán

W(A)→VnW(A)πm↓πn+m↓Wm(A)→VmnWn+m(A) \begin{array}{ccc} W(A) & \xrightarrow{V^n} & W(A) \\ \pi_m \downarrow & & \pi_{n+m} \downarrow \\ W_m(A) & \xrightarrow{V^n_m} & W_{n+m}(A) \end{array}

Qua phép chuyển qua các thương, từ dãy khớp (E) ta suy ra một dãy khớp

(E')

0⟶Wm(A)→VmnWn+m(A)→πn,n+mWn(A)⟶0. 0 \longrightarrow W_m(A) \xrightarrow{V^n_m} W_{n+m}(A) \xrightarrow{\pi_{n,n+m}} W_n(A) \longrightarrow 0 .

Ta có

(45)

Vmn[a0,...,am−1]=[0,...,0⏟n laˆˋn,a0,...,am−1], V^n_m[a_0, ..., a_{m-1}] = [\underbrace{0, ..., 0}_{n \text{ lần}}, a_0, ..., a_{m-1}],

với mọi phần tử [a0,...,am−1][a_0, ..., a_{m-1}] của Wm(A)W_m(A).

Theo Mệnh đề 3, c) của No. 5, ta có FVm+1(a)=p.Vm(a)FV^{m+1}(a) = p.V^m(a) với mọi aa trong W(A)W(A) và do đó ta có F(Vm+1(A))⊂Vm(A)F(V_{m+1}(A)) \subset V_m(A). Bằng quy nạp theo nn, ta suy ra rằng FnF^n biến Vn+m(A)V_{n+m}(A) vào Vm(A)V_m(A), và vì thế xác định, qua phép chuyển qua các thương, một đồng cấu vành Fmn:Wn+m(A)→Wm(A)F^n_m : W_{n+m}(A) \to W_m(A). Theo phép dựng, ta có một biểu đồ giao hoán

W(A)→FnW(A)πn+m↓πm↓Wn+m(A)→FmnWm(A) \begin{array}{ccc} W(A) & \xrightarrow{F^n} & W(A) \\ \pi_{n+m} \downarrow & & \pi_m \downarrow \\ W_{n+m}(A) & \xrightarrow{F^n_m} & W_m(A) \end{array}

Nhắc lại (No. 3) rằng đa thức FiF_i thuộc về Z[X0,...,Xi+1]\mathbf{Z}[X_0, ..., X_{i+1}] với mọi số nguyên i⩾0i \geqslant 0; đồng cấu Fm1F^1_m từ Wm+1(A)W_{m+1}(A) vào Wm(A)W_m(A) do đó được cho tường minh như sau:

(46)

Fm1[a0,...,am]=[Fi(a0,...,ai+1)]0⩽i<m. F^1_m[a_0, ..., a_m] = [F_i(a_0, ..., a_{i+1})]_{0 \leqslant i < m}.

Cho a∈Wm(A)a \in W_m(A), a′∈Wm(A)a' \in W_m(A) và b∈Wm+1(A)b \in W_{m+1}(A). Các công thức sau thu được bằng phép chuyển qua các thương từ Mệnh đề 3 của No. 5:

(47)

Fm1(Vm1(a))=p.a F^1_m(V^1_m(a)) = p.a
(48)
Vm1(a×Fm1(b))=Vm1(a)×b V^1_m(a \times F^1_m(b)) = V^1_m(a) \times b
(49)
Vm1(a)×Vm1(a′)=p.Vm1(a×a′) V^1_m(a) \times V^1_m(a') = p.V^1_m(a \times a')
(50)
Vm1(Fm1(b))=μm+1×b V^1_m(F^1_m(b)) = \mu_{m+1} \times b

(với μm+1=[0,1,0,...,0]\mu_{m+1} = [0, 1, 0, ..., 0]).

8. Vành các vectơ Witt với hệ số trong một vành có đặc số pp

Mệnh đề 5

Cho AA là một vành có đặc số pp (A, V, p. 2). Với mọi phần tử aa và bb của W(A)W(A), và các số nguyên dương m,nm, n, ta có, nếu a=(an)n∈Na = (a_n)_{n \in \mathbf{N}},

(51)F(a)=(anp)n∈N (51) \quad F(a) = (a_n^p)_{n \in \mathbf{N}}
(52)p.a=VF(a)=FV(a)=(0,a0p,a1p,...) (52) \quad p.a = VF(a) = FV(a) = (0, a_0^p, a_1^p, ...)
(53)Vm(a)×Vn(b)=Vm+n(Fn(a)×Fm(b)). (53) \quad V^m(a) \times V^n(b) = V^{m+n}(F^n(a) \times F^m(b)) .

Công thức (51) suy ra từ Ví dụ 4 của No. 3. Từ đó ngay lập tức suy ra đẳng thức

VF(a)=FV(a)=(0,a0p,a1p,...), VF(a) = FV(a) = (0, a_0^p, a_1^p, ...) ,

và đẳng thức p.a=FV(a)p.a = FV(a) đã được chứng minh (No. 5, mệnh đề 3), do đó có (52).

Ta hãy chứng minh (53). Theo công thức (37) (trong đó thay Vn(b)V^n(b) cho bb), ta có

(54)Vm(a)×Vn(b)=Vm(a×Fm(Vn(b))). (54) \quad V^m(a) \times V^n(b) = V^m(a \times F^m(V^n(b))) .

Từ công thức (37), ta cũng suy ra

(55)Vn(Fm(b))×a=Vn(Fm(b)×Fn(a)). (55) \quad V^n(F^m(b)) \times a = V^n(F^m(b) \times F^n(a)) .

Công thức (53) khi đó suy ra từ (54) và (55) và từ quan hệ Fm∘Vn=Vn∘FmF^m \circ V^n = V^n \circ F^m, bản thân nó là một hệ quả của (51).

Hệ quả

Nếu mm và nn là hai số nguyên dương, ta có

Vm(A)×Vn(A)⊂Vm+n(A). V_m(A) \times V_n(A) \subset V_{m+n}(A) .

Điều này suy ra từ công thức (53), vì Vm(A)V_m(A) là ảnh của Vm:W(A)→W(A)V^m : W(A) \to W(A).

Mệnh đề 6

Cho AA là một vành.

a) Với mọi số nguyên k⩾1k \geqslant 1, ta có (V1(A))k=pk−1⋅V1(A)(V_1(A))^k = p^{k-1} \cdot V_1(A).

b) Giả sử rằng AA là một vành có đặc số pp. Trên vành W(A)W(A), tôpô V1(A)V_1(A)-adic và tôpô pp-adic trùng nhau, và chúng mịn hơn tôpô tích C\mathscr{C} (xem No. 6). Vành W(A)W(A) là tách được và đầy đủ đối với tôpô pp-adic.

Ta hãy chứng minh a) bằng quy nạp theo kk. Trường hợp k=1k = 1 là hiển nhiên. Giả sử k⩾2k \geqslant 2. Theo giả thiết quy nạp, ta có V1(A)k−1=pk−2⋅V1(A)V_1(A)^{k-1} = p^{k-2} \cdot V_1(A) và do đó V1(A)k=pk−2⋅(V1(A))2V_1(A)^k = p^{k-2} \cdot (V_1(A))^2. Nhưng từ mệnh đề 3, d), công thức (31), của No. 5 suy ra rằng ta có (V1(A))2=p⋅V1(A)(V_1(A))^2 = p \cdot V_1(A), do đó có a).

Bây giờ giả sử rằng AA có đặc số pp. Vì ta có

p⋅W(A)=VF(W(A))⊂V1(A)(coˆng thức (52)), p \cdot W(A) = VF(W(A)) \subset V_1(A) \quad (\text{công thức (52)}) ,

ta suy ra từ a) các bao hàm pk.W(A)⊂(V1(A))k⊂pk−1.W(A)p^k.W(A) \subset (V_1(A))^k \subset p^{k-1}.W(A), và từ hệ quả của mệnh đề 5 bao hàm (V1(A))k⊂Vk(A)(V_1(A))^k \subset V_k(A), với mọi số nguyên k⩾1k \geqslant 1. Khẳng định thứ nhất của b) được suy ra.

Cho kk là một số nguyên ⩾1\geqslant 1. Theo công thức (52), iđêan pk.W(A)p^k.W(A) của W(A)W(A) là tập hợp các phần tử a=(an)n∈Na = (a_n)_{n \in \mathbf{N}} của W(A)W(A) sao cho có an=0a_n = 0 với n<kn < k và an∈Apka_n \in A^{p^k} với n⩾kn \geqslant k. Do đó nó là đóng đối với tôpô G\mathscr{G}. Vì W(A)W(A) là tách được và đầy đủ đối với tôpô G\mathscr{G} (no 6) và vì các iđêan pk.W(A)p^k.W(A) của W(A)W(A), với k⩾1k \geqslant 1, tạo thành một cơ sở các lân cận của 00 trong W(A)W(A) đối với tôpô pp-adic, nên vành W(A)W(A) là tách được và đầy đủ đối với tôpô pp-adic (TG, III, p. 26, hệ quả 1 của mệnh đề 10).

Mệnh đề 7

Cho A là một vành hoàn hảo có đặc số p.

a) Với mọi phần tử a=(an)n∈Na = (a_n)_{n \in \mathbf{N}} của W(A)W(A), chuỗi có số hạng tổng quát pnτ(anp−n)p^n \tau(a_n^{p^{-n}}) là hội tụ trong W(A)W(A), với tổng là aa.

b) Trên W(A)W(A), tôpô V1(A)V_1(A)-adic, tôpô pp-adic và tôpô G\mathscr{G} trùng nhau. Chính xác hơn, ta có Vn(A)=pn.W(A)=(V1(A))nV_n(A) = p^n.W(A) = (V_1(A))^n với mọi số nguyên n⩾0n \geqslant 0. Đặc biệt Φ0\Phi_0 xác định một đẳng cấu của W(A)/p.W(A)W(A)/p.W(A) lên AA.

Theo định nghĩa (A, V, p. 5), ánh xạ a↦apa \mapsto a^p là một tự đẳng cấu của vành AA. Theo mệnh đề 5, F do đó là một tự đẳng cấu của vành W(A)W(A), và ta có, với mọi n∈Nn \in \mathbf{N},

pn.W(A)=VnFn(W(A))=Vn(W(A))=Vn(A). p^n.W(A) = V^n F^n(W(A)) = V^n(W(A)) = V_n(A).

Đặc biệt, ta có (V1(A))n=(p.W(A))n=pn.W(A)(V_1(A))^n = (p.W(A))^n = p^n.W(A). Mệnh đề b) suy ra từ đó.

Theo mệnh đề 5, ta có

pn.τ(anp−n)=VnFnτ(anp−n)=Vnτ(an), p^n.\tau(a_n^{p^{-n}}) = V^n F^n \tau(a_n^{p^{-n}}) = V^n \tau(a_n),

và mệnh đề a) suy ra từ mệnh đề 4 của no 6.

Mệnh đề 8

Cho A là một trường có đặc số p. Vành W(A)W(A) là một vành địa phương nguyên, tách được và đầy đủ, với iđêan cực đại V1(A)V_1(A) và trường thặng dư đẳng cấu với A. Nếu trường A là hoàn hảo, vành W(A)W(A) là một vành định giá rời rạc, và iđêan cực đại của nó là p.W(A)p.W(A).

Đồng cấu Φ0\Phi_0 xác định một đẳng cấu của W(A)/V1(A)W(A)/V_1(A) lên AA (no 7, ví dụ 1). Iđêan V1(A)V_1(A) của W(A)W(A) do đó là cực đại. Vì vành W(A)W(A) là tách được và đầy đủ đối với tôpô V1(A)V_1(A)-adic (mệnh đề 6, bb), nó là một vành địa phương, với iđêan cực đại V1(A)V_1(A) (III, § 2, no 13, mệnh đề 19).

Cho aa và bb là hai phần tử khác không của W(A)W(A). Tồn tại các số nguyên m⩾0m \geqslant 0 và n⩾0n \geqslant 0, và các phần tử a′=(an′)n∈Na' = (a'_n)_{n \in \mathbf{N}} và b′=(bn′)n∈Nb' = (b'_n)_{n \in \mathbf{N}} của W(A)W(A) sao cho a=Vm(a′)a = V^m(a'), b=Vn(b′)b = V^n(b') và các phần tử a0′a'_0 và b0′b'_0 của AA là khác không. Khi đó thành phần có chỉ số m+nm + n của a×ba \times b bằng thành phần có chỉ số 0 của Fn(a′)×Fm(b′)F^n(a') \times F^m(b') (công thức (53)), nghĩa là bằng a0′pnb0′pm{a'_0}^{p^n} {b'_0}^{p^m} (công thức (51) và No. 3, Ví dụ 2). Do đó a×ba \times b là khác không và W(A)W(A) là một miền nguyên.

Nếu trường AA là hoàn hảo, iđêan cực đại V1(A)V_1(A) của W(A)W(A) bằng p.W(A)p.W(A) (Prop. 7, b)) và do đó W(A) là một vành định giá rời rạc (VI, § 3, No. 6, Prop. 9, c)).

Nhận xét 1

Cho A là một trường có đặc số p. Bây giờ có thể chứng minh rằng vành W(A) là Noether khi và chỉ khi A là hoàn hảo (p. 43, Bài tập 9).

Nhận xét 2

Cho A là một vành có đặc số p. Theo Prop. 5, ta có các công thức

Fmn[a0,...,an+m−1]=[a0pn,...,am−1pn] F_m^n[a_0, ..., a_{n+m-1}] = [a_0^{p^n}, ..., a_{m-1}^{p^n}]
pn.[a0,...,an+m−1]=[0,...,0⏟n laˆˋn,a0pn,...,am−1pn] p^n.[a_0, ..., a_{n+m-1}] = [\underbrace{0, ..., 0}_{n \text{ lần}}, a_0^{p^n}, ..., a_{m-1}^{p^n}]

với mọi vectơ Witt [a0,...,an+m−1][a_0, ..., a_{n+m-1}] có độ dài n+mn + m.

Thực vậy, ánh xạ F:W(A)→W(A)F : W(A) \to W(A) cho phép, bằng cách chuyển qua các thương bởi Vm(A)V_m(A), định nghĩa một ánh xạ F‾m:Wm(A)→Wm(A)\overline{F}_m : W_m(A) \to W_m(A). Ta có công thức

F‾m[a0,...,am−1]=[a0p,...,am−1p]. \overline{F}_m[a_0, ..., a_{m-1}] = [a_0^p, ..., a_{m-1}^p].

Các ánh xạ Vm1∘F‾mV_m^1 \circ \overline{F}_m và F‾m+1∘Vm1\overline{F}_{m+1} \circ V_m^1 từ Wm(A)W_m(A) vào Wm+1(A)W_{m+1}(A) là bằng nhau và thu được, bằng cách chuyển qua thương, từ phép nhân với pp trong Wm+1(A)W_{m+1}(A).

Bài tập

Trong các Bài tập 1 đến 27, pp là một số nguyên tố cố định. Nếu AA là một vành, vành các vectơ Witt W(A)W(A) là vành gắn với số nguyên tố pp.

Bản dịch máy từ tiếng Anh, bởi gpt-5-6-mini, gpt-5-6, gpt-5-mini, theo bảng thuật ngữ phiên bản 34. Chưa được người kiểm tra. Mô hình này là bản rút gọn của mô hình đã viết phần còn lại của ngôn ngữ này.