a) Vành $C$ là địa phương, với iđêan cực đại $pC$.

b) Giả sử $p1_C$ lũy linh. Gọi $d$ là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho $p^d1_C = 0$. Các iđêan của $C$ có dạng $p^kC$ với $0 \leq k \leq d$, và ta có $p^kC \neq p^lC$ khi $k$ và $l$ là hai số nguyên phân biệt thỏa mãn $0 \leq k \leq d, 0 \leq l \leq d$. $C$-môđun $C$ có độ dài $d$.

c) Giả sử rằng $p1_C$ không lũy linh. Khi đó $C$ là một vành định giá rời rạc có trường thặng dư là trường có đặc số $p$, và có trường phân thức là trường có đặc số $0$. Các iđêan có dạng $p^nC$, với $n \in \mathbf{N}$, phân biệt từng đôi một; chúng tạo thành tất cả các iđêan khác không của $C$. $C$-môđun $C$ không có độ dài hữu hạn.

Mệnh đề a) suy ra từ mệnh đề 19 của III, $§ 2$, no. 13.

Theo giả thiết, ta có $\bigcap_{n \geqslant 0} p^n C = \{0\}$. Cho $x \neq 0$ trong $C$; tồn tại một số nguyên $n \geqslant 0$ sao cho $x \in p^n C$, $x \notin p^{n+1} C$; do đó tồn tại một phần tử $y$ của $C$ sao cho $x = p^n y$; vì $y$ không thuộc $pC$, $y$ khả nghịch.

Giả sử rằng $p 1_C$ không lũy linh. Nếu $x$ và $x'$ là hai phần tử khác không của $C$, thì tồn tại hai số nguyên $n \geqslant 0$, $n' \geqslant 0$ và hai phần tử khả nghịch $y$, $y'$ của $C$ sao cho $x = p^n y$, $x' = p^{n'} y'$. Khi đó ta có $xx' = p^{n+n'} yy' \neq 0$, do đó $C$ là một miền nguyên. Vì $C$ là một vành địa phương, nhưng không phải là một trường, và vì iđêan cực đại $m_C = pC$ của $C$ là chính, nên $C$ là một vành định giá rời rạc (VI, $§ 3$, số 6, mệnh đề 9). Khi đó các iđêan khác không của $C$ có dạng $p^n C$ theo nơi đã dẫn, mệnh đề 8, và từng đôi một phân biệt. Đặc biệt, vành $C$ không phải là Artin, do đó $C$-môđun $C$ không có độ dài hữu hạn. Trường thặng dư $C/pC$ của $C$ có đặc số $p$. Gọi $q$ là đặc số của trường phân thức của $C$. Ta có $p 1_C \neq 0$, do đó $p \neq q$. Hơn nữa, nếu $q$ khác không, thì ta sẽ có $q 1_C = 0$ nên $C/pC$ sẽ có đặc số $q \neq p$, điều này vô lý. Điều này chứng minh c).

Giả sử rằng $p 1_C$ là lũy linh. Gọi $d$ là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho $p^d 1_C = 0$. Ta có một dãy các iđêan

(E)

Nếu $k$ là một số nguyên sao cho $0 \leqslant k < d$ và $p^k C = p^{k+1} C$, ta suy ra

trái với giả thiết $p^{d-1} 1_C \neq 0$. Do đó các phần tử của dãy (E) từng đôi một phân biệt. Cho $a$ là một iđêan của $C$ và cho $k$ là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho $a \supset p^k C$. Cho $x$ là một phần tử khác không của $a$; ta đã thấy rằng $x$ có dạng $p^m u$ với $m \geqslant 0$ và $u$ khả nghịch trong $C$. Suy ra $p^m C \subset a$, do đó $m \geqslant k$, và cuối cùng $x \in p^k C$. Kết luận, ta có $a = p^k C$. Khi đó dãy (E) là một dãy Jordan-Hölder của $C$-môđun $C$, có độ dài $d$.

Giả sử $C$ là một miền nguyên. Nếu $p 1_C$ là lũy linh, ta có $p 1_C = 0$, và $\{0\}$ là một iđêan cực đại của $C$, do đó $C$ là một trường có đặc số $p$. Nếu $p 1_C$ không lũy linh, thì $C$ là một vành định giá rời rạc theo Mệnh đề 1, c).

Có thể giả sử $a \neq \{0\}$. Khi đó tồn tại một số nguyên $i \geqslant 1$ sao cho $a = p^i C$; iđêan $pC/a$ của $C/a$ là cực đại và ta có $p^i 1_{C/a} = 0$, vì vậy $C/a$ là một $p$-vành.

Cho $C$ là một $p$-vành. Độ dài của $C$, ký hiệu là $l(C)$, là cận trên nhỏ nhất trong $\overline{\mathbf{R}}$ của tập hợp các số nguyên $n \geqslant 1$ sao cho $p^{n-1} 1_C \neq 0$. Khi $l(C)$ hữu hạn, nó là độ dài của $C$-môđun $C$, và khi $l(C)$ bằng $+ \infty$, $C$-môđun $C$ không có độ dài hữu hạn (mệnh đề 1).

a) Ta có $l(C) \geqslant l(C')$, và $u$ là đơn ánh khi và chỉ khi ta có $l(C) = l(C')$.

b) Để $u$ là toàn ánh, điều kiện cần và đủ là $v$ là một đẳng cấu.

c) Để $u$ là một đẳng cấu, điều kiện cần và đủ là $v$ là một đẳng cấu và ta có $l(C) = l(C')$.

Cho $n \geqslant 1$ là một số nguyên. Ta có $u(p^{n-1}1_C) = p^{n-1}1_{C'}$, do đó quan hệ $p^{n-1}1_{C'} \neq 0$ kéo theo $p^{n-1}1_C \neq 0$ và là tương đương với nó nếu $u$ là đơn ánh. Vậy $l(C') \leqslant l(C)$, với đẳng thức nếu $u$ là đơn ánh. Nếu $u$ không đơn ánh, tồn tại một số nguyên $i < l(C)$ sao cho hạt nhân của $u$ là iđêan $p^iC$ của $C$; khi đó $p^i1_{C'} = 0$, do đó $l(C') \leqslant i$. Điều này chứng minh a).

Vì $\kappa_C$ và $\kappa_{C'}$ là các trường, đồng cấu $v$ là đơn ánh. Nếu $u$ là toàn ánh thì $v$ cũng vậy, do đó là một đẳng cấu. Ngược lại, giả sử $v$ toàn ánh. Khi đó với mọi số nguyên $n \geqslant 0$, ánh xạ $v_n : p^nC/p^{n+1}C \to p^nC'/p^{n+1}C'$ cảm sinh bởi $u$ là toàn ánh. Vì $C$ đầy đủ đối với lọc $pC$-adic và $C'$ phân cách đối với lọc $pC'$-adic, $u$ là toàn ánh theo Hệ quả 2 của Định lý 1 của III, § 2, No. 8. Điều này chứng minh b).

Cuối cùng, c) suy ra từ a) và b).

Vì các ánh xạ $\pi_{n,m}$ là toàn ánh, các ánh xạ $\pi_n$ cũng vậy (E, III, p. 58, mệnh đề 5). Ta sẽ chứng minh rằng $C$ là một vành $p$. Gọi $d_n$ là độ dài của $C_n$. Theo mệnh đề 2, a), dãy các phần tử $d_n$ của $\mathbf{N} \cup \{ + \infty \}$ là tăng; nếu nó dừng, thì tồn tại một số nguyên $n_0$ sao cho $\pi_{n,m}$ là một đẳng cấu từ $C_m$ lên $C_n$ mỗi khi $n_0 \leqslant n \leqslant m$, do đó $C$, đẳng cấu với $C_{n_0}$, là một vành $p$.

Vì vậy chỉ cần xét trường hợp mỗi $d_n$ đều hữu hạn, và dãy $(d_n)$ tiến tới $+ \infty$. Trang bị cho vành $C$ lọc tầm thường (III, § 2, No. 1, ví dụ 5). Với $n \in \mathbf{N}$, gọi $I_n$ là hạt nhân của $\pi_n$; đặt $I_n = C$ nếu $n < 0$. Gọi $E$ là $C$-môđun $C$ được trang bị lọc $(I_n)_{n \in \mathbf{Z}}$. Nó là phân cách và đầy đủ, vì tôpô $\mathscr{T}$ xác định bởi lọc $(I_n)_{n \in \mathbf{Z}}$ là tôpô giới hạn xạ ảnh của các tôpô rời rạc trên các $C_n$.

Cho $k$ là một số nguyên $\geqslant 1$. Ta có $p^k C \subset \varprojlim (p^k C_n)$ (E, III, p. 55, công thức (9)). Ngược lại, nếu $x = (x_n)_{n \in \mathbf{N}} \in \varprojlim (p^k C_n)$ và nếu đặt $X_n = \{ y \in C | \pi_n(p^k y) = x_n \}$, thì dãy $(X_n)_{n \in \mathbf{N}}$ là một dãy giảm gồm các phần afin đóng khác rỗng của E. Vì $E/I_n$ là một C-môđun Artin, nên giao của các $X_n$ là khác rỗng (III, § 2, No. 7, mệnh đề 7); với mọi $z \in \bigcap_{n \in \mathbf{N}} X_n$, ta có $p^k z = x$. Vậy ta đã chứng minh rằng $p^k C = \varprojlim p^k C_n$ với mọi số nguyên $k \geqslant 1$. Đặc biệt iđêan $p^k C$ của C là đóng đối với tôpô $\mathscr{T}$. Trên C, tôpô $p$-adic mịn hơn tôpô $\mathscr{T}$ vì ta có $p^{d_n} C \subset I_n$. Khi đó suy ra từ TG, III, p. 26, hệ quả 1 của mệnh đề 10, rằng C tách biệt và đầy đủ đối với tôpô $pC$-adic. Hơn nữa ta có $pC = \varprojlim pC_n = \pi_0^{-1}(pC_0)$ và do đó đồng cấu toàn ánh từ $C/pC$ vào $C_0/pC_0$ suy ra từ $\pi_0$ là một đẳng cấu. Điều này cho thấy iđêan $pC$ của C là cực đại và do đó C là một $p$-vành. Khẳng định cuối cùng của mệnh đề 3 suy ra từ mệnh đề 2, b).

A) Trường hợp riêng: $m_A$ lũy linh

Cho n là một số nguyên dương sao cho $m_A^{n+1} = \{0\}$. Nếu $\Phi_n$ là đa thức Witt thứ n ($§ 1$, No. 1), thì ánh xạ $u : [a_0, ..., a_n] \mapsto \Phi_n(a_0, ..., a_n)$ là một đồng cấu vành từ $W_{n+1}(A)$ vào A ($§ 1$, No. 7). Cho $B_n$ là ảnh của $u$ và cho $C_n$ là vành con của A được sinh bởi $B_n \cup S$.

Ta có $pA \subset m_A$ và $B_n$ gồm các phần tử có dạng $a_0^{p^n} + pa_1^{p^{n-1}} + \cdots + p^n a_n$ với $a_0, ..., a_n$ thuộc $A$. Do đó ta có $\pi(B_n) = k^{p^n}$, do đó $\pi(C_n) = k^{p^n}[\pi(S)]$. Nhưng vì $\pi(S)$ là một $p$-cơ sở của $k$, ta có $k = k^{p^n}[\pi(S)]$ (A, V, p. 96), do đó $\pi(C_n) = k$, nghĩa là $C_n + m_A = A$.

Cho $A'$ là một vành con của $A$ chứa $S$. Nếu $A'$ chứa $C_n$, ta có

Ngược lại, giả sử rằng ta có $A' + m_A = A$. Cho $a_0, ..., a_n$ là các phần tử của $A$; theo giả thiết tồn tại các phần tử $a'_0, ..., a'_n$ của $A'$ sao cho $a_i \equiv a'_i \mod m_A$ với $0 \leq i \leq n$. Theo mệnh đề 1 của § 1, No. 1 và giả thiết $m_A^{n+1} = \{0\}$, do đó ta có $\Phi_n(a_0, ..., a_n) = \Phi_n(a'_0, ..., a'_n) \in A'$, do đó $B_n \subset A'$. Vì $C_n$ là vành sinh bởi $B_n \cup S$, ta có $C_n \subset A'$.

Trong tập hợp $S$ các vành con $A'$ của $A$ chứa $S$ và sao cho $A' + m_A = A$, theo bổ đề 1 tồn tại một phần tử nhỏ nhất $C$, và ta có $C_n = C$ với mọi số nguyên $n \geq 0$ sao cho $m_A^{n+1} = \{0\}$.

Ta có $C + m_A = A$ theo phép dựng và $p1_C$ là lũy linh. Hiển nhiên ta có $pC \subset C \cap m_A$ và do đó bổ đề 2 dưới đây chứng tỏ rằng $pC$ là một iđêan cực đại của $C$ và do đó $C$ là một vành Cohen của $A$.

Chọn một số nguyên $m \geq 1$ sao cho $m_A^m = \{0\}$, do đó $C = C_m = C_{m-1}$. Gọi $\Lambda$ là tập con của $\mathbf{N}^{(S)}$ gồm các họ số nguyên $(\alpha_s)_{s \in S}$ có giá hữu hạn thỏa mãn $0 \leq \alpha_s < p^m$ với mọi $s \in S$. Vì $B_m$ chứa $s^{p^m} = \Phi_m(s, 0, ..., 0)$ với mọi $s \in S$, các đơn thức $Z_\alpha = \prod_{s \in S} s^{\alpha_s}$, trong đó $\alpha$ chạy qua $\Lambda$, sinh $C_m$ như một $B_m$-môđun.

Hơn nữa, từ công thức

mọi phần tử của $B_m$ đều có dạng $a^{p^m} + pb$ với $a \in A$ và $b \in B_{m-1}$. Do đó mọi phần tử của $C = C_m$ đều có dạng với $c_\alpha \in A$ với mọi $\alpha \in \Lambda$, và $y \in C_{m-1} = C$. Nếu $x$ thuộc $C \cap m_A$, ta có $\pi(x) = 0$, do đó $\sum_{\alpha \in \Lambda} \pi(c_\alpha)^{p^m} \pi(Z_\alpha) = 0$. Vì $\pi(S)$ là một $p$-cơ sở của $k$, theo A, V, p. 96 ta có $\pi(c_\alpha) = 0$ với mọi $\alpha \in \Lambda$. Khi đó ta có $c_\alpha \in m_A$, do đó $c_\alpha^m = 0$ và a fortiori $c_\alpha^{p^m} = 0$. Từ (1), ta có $x = py$, do đó bổ đề 2.

Ta có $p^m C = m_A^m = \{0\}$ với $m$ đủ lớn, và vì thế mệnh đề b) là tầm thường. Mệnh đề c) suy ra từ bổ đề 1. Nếu $C'$ là một vành con Cohen của $A$ chứa $S$, thì ta có $C' \supset C$ theo bổ đề 1. Nhưng vì phép nhúng của $C$ vào $C'$ cảm sinh một đẳng cấu của $\kappa_C$ lên $\kappa_{C'}$, nên ta có $C = C'$ (No. 1, mệnh đề 2, b)), và điều này hoàn tất việc chứng minh a).

B) Trường hợp tổng quát

Với mọi số nguyên $n \geqslant 0$, gọi $A_n$ là vành địa phương $A/m_A^{n+1}$, gọi $m_n = m_A/m_A^{n+1}$ là iđêan cực đại của nó, và gọi $\pi_n$ là đồng cấu chính tắc từ $A$ lên $A_n$. Theo A), tồn tại một vành con Cohen duy nhất $C_n$ của $A_n$ chứa $\pi_n(S)$. Khi $0 \leqslant n \leqslant m$, ta ký hiệu bởi $\pi_{n,m}$ đồng cấu chính tắc từ $A_m$ lên $A_n$. Theo Hệ quả 2 của Mệnh đề 1 ở No. 1, $\pi_{n,m}(C_m)$ là một $p$-vành; ta có $\pi_{n,m}(C_m) + m_n = A_n$, do đó $\pi_{n,m}(C_m)$ bằng vành con Cohen $C_n$ của $A_n$. Theo Mệnh đề 3 ở No. 1, vành con $\lim C_n$ của $\lim A_n$ là một $p$-vành. Đặt $C = \bigcap_{n \in \mathbf{N}} \pi_n^{-1}(C_n)$. Vì $C$ là ảnh ngược của $\lim C_n$ qua đẳng cấu $a \mapsto (\pi_n(a))_{n \in \mathbf{N}}$ từ $A$ lên $\lim A_n$, nên nó là một vành con đóng của $A$, và là một $p$-vành. Ta có $\pi_n(C) = C_n$ với mọi $n \in \mathbf{N}$ (No. 1, Mệnh đề 3), và đặc biệt $\pi_0(C) = A_0$, nghĩa là $\pi(C) = k$. Vậy $C$ là một vành con Cohen của $A$.

Với mọi số nguyên $n \geqslant 0$, đặt $J_n = C \cap m_A^n$. Vì vành địa phương $A$ là tách biệt, ta có $\bigcap_{n \in \mathbf{N}} J_n = \{0\}$, và xét cấu trúc của các iđêan của một $p$-vành (No. 1, Mệnh đề 1), mọi iđêan của $C$ có dạng $p^kC$ đều chứa một trong các $J_n$. Ngược lại, $J_n$ chứa $p^nC$. Do đó, tôpô $pC$-adic của $C$ được cảm sinh bởi tôpô $m_A$-adic của $A$. Điều này chứng minh b).

Cho $A'$ là một vành con đóng của $A$, chứa $S$ và sao cho $A' + m_A = A$. Vì $A'$ đóng, ta có $A' = \bigcap_{n \in \mathbf{N}} \pi_n^{-1}(\pi_n(A'))$. Ta có $\pi_n(A') \supset \pi_n(S)$ và $\pi_n(A') + m_n = A_n$, do đó $\pi_n(A') \supset C_n$ theo điều đã thấy trong A). Sau hết, ta có $\pi_n^{-1}(\pi_n(A')) \supset \pi_n^{-1}(C_n)$, do đó $A' \supset C$. Điều này chứng minh c). Suy ra tính duy nhất của một vành con Cohen như trong A).

Hãy chứng minh sự tồn tại của $u$. Gọi $A$ là vành con của $C \times C'$ gồm các cặp $(x, x')$ sao cho $v(\pi(x)) = \pi'(x')$. Ánh xạ $(x, x') \mapsto \pi(x)$ là một đồng cấu toàn ánh các vành từ A lên $\kappa_C$. Hạt nhân của nó $m$, bằng $pC \times pC'$, do đó là một iđêan cực đại của A. Không gian con tôpô A của $C \times C'$ là đóng trong $C \times C'$, nên đầy đủ, và tôpô cảm sinh trên A bởi tôpô của $C \times C'$ là tôpô $m$-adic. Vì thế A là một vành địa phương tách biệt đầy đủ với iđêan cực đại $m$ (III, § 2, No. 13, Prop. 19). Với mọi $\lambda \in \Lambda$, theo giả thiết ta có $(x_\lambda, x'_\lambda) \in A$; nếu $\xi_\lambda$ là lớp của $(x_\lambda, x'_\lambda)$ modulo $m$, thì họ $(\xi_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ là một $p$-cơ sở của trường $A/m$. Theo định lý 1 của No. 2, tồn tại một vành con Cohen $C''$ của A, và chỉ có một, chứa $(x_\lambda, x'_\lambda)$ với mọi $\lambda \in \Lambda$. Ta có $l(C'') = l(C) \geq l(C')$. Hạn chế trên $C''$ của phép chiếu từ $C \times C'$ lên C là một đồng cấu $h : C'' \to C$ cảm sinh một đẳng cấu từ $\kappa_{C''}$ lên $\kappa_C$. Theo Prop. 2, c) của No. 2, $h$ là một đẳng cấu từ $C''$ lên C. Tương tự, ta thấy rằng hạn chế $h'$ trên $C''$ của phép chiếu từ $C \times C'$ lên $C'$ là một đồng cấu toàn ánh từ $C''$ lên $C'$. Do đó, $C''$ là đồ thị của một đồng cấu toàn ánh $u = h' \circ h^{-1}$ từ C lên $C'$, và hiển nhiên ta có $v \circ \pi = \pi' \circ u$, $u(x_\lambda) = x'_\lambda$ với mọi $\lambda \in \Lambda$. Hơn nữa, nếu $l(C) = l(C')$, thì $u$ là một đẳng cấu.

Hãy chứng minh tính duy nhất của $u$. Gọi $u_1$ là một đồng cấu từ C vào $C'$ sao cho $v \circ \pi = \pi' \circ u_1$ và $u_1(x_\lambda) = x'_\lambda$ với mọi $\lambda \in \Lambda$, và gọi $C_1$ là đồ thị của $u_1$. Ngay lập tức thấy rằng $C_1$ là một vành con Cohen của A, chứa $(x_\lambda, x'_\lambda)$ với mọi $\lambda \in \Lambda$, do đó $C_1 = C''$ (định lý 1 của No. 2) và cuối cùng $u_1 = u$.

Vành $W(k)$ các vectơ Witt với hệ số trong k là một vành địa phương nguyên phân tách đầy đủ mà trường thặng dư đẳng cấu với k ($§ 1$, no. 8, mệnh đề 8), và ta có $p \cdot 1_{W(k)} \neq 0$ (loc. cit., công thức (52)). Cho C là một vành con Cohen của $W(k)$ (no. 2, định lý 1). Khi đó C là một p-vành có độ dài $+ \infty$ mà trường thặng dư đẳng cấu với k, và, nếu n là một số nguyên $\geq 1$, thương $C/p^nC$ là một p-vành có độ dài n mà trường thặng dư đẳng cấu với k.

Theo mệnh đề 5, tồn tại một p-vành $C'$ có độ dài vô hạn sao cho $\kappa_{C'}$ đẳng cấu với $\kappa_C$. Khi đó $C'/p^nC' = C'_n$ là một p-vành có độ dài n, và trường $\kappa_{C'_n}$ đẳng cấu với $\kappa_{C'}$, do đó với $\kappa_C$. Vậy theo mệnh đề 4, các vành C và $C'_n$ là đẳng cấu.

Vì $W_n(k)$ (tương ứng $W(k)$) là một p-vành có trường thặng dư k, và có độ dài n (tương ứng có độ dài vô hạn) (No. 1, Ví dụ 2), và vì $\varnothing$ là một p-cơ sở của trường hoàn hảo k, nên mệnh đề 6 là một trường hợp riêng của mệnh đề 4 của No. 3.

a) Tồn tại một đồng cấu vành duy nhất $u : W(k) \to A$ sao cho $\pi(u(a)) = a_0$ đối với $a = (a_n)_{n \in \mathbf{N}}$ trong W(k).

b) Đồng cấu u liên tục khi W(k) được trang bị tôpô $pW(k)$-adic, và ảnh của u là vành con Cohen duy nhất của A.

Theo định lý 1 của no. 2, tồn tại một vành con Cohen duy nhất của A; ta ký hiệu nó là C. Cho u là một đồng cấu từ W(k) vào A sao cho $\pi(u(a)) = a_0$ với mọi $a = (a_n)_{n \in \mathbf{N}}$ trong W(k); ngay lập tức thấy rằng ảnh của u là một vành con Cohen của A, do đó bằng C. Sự tồn tại và tính duy nhất của u khi đó suy ra từ mệnh đề 6. Tôpô $pC$-adic của C được cảm sinh bởi tôpô $m_A$-adic của A (no. 2, định lý 1, b)), do đó suy ra tính liên tục của u.

Để có một phép dựng trực tiếp của u, xem p. 70, bài tập 6.

Trước hết ta chứng minh tính duy nhất của S. Cho S là một tập con nhân tính của A, sao cho $\pi$ cảm sinh một song ánh từ S lên k. Cho T là tập các phần tử của A là các lũy thừa bậc $p^n$ đối với mọi $n \in \mathbf{N}$.

a) Ta có $S \subset T$ : Cho $a \in S$ và $n \in \mathbf{N}$; vì trường k là hoàn hảo, tồn tại một phần tử $x_n$ của k sao cho $x_n^{p^n} = \pi(a)$; vì ta có $\pi(S) = k$, tồn tại một phần tử $a_n$ của S sao cho $x_n = \pi(a_n)$. Khi đó ta có $\pi(a_n^{p^n}) = \pi(a)$ do đó $a_n^{p^n} = a$ vì hạn chế của $\pi$ lên S là đơn ánh.

b) Hạn chế của $\pi$ lên T là đơn ánh: giả sử a và b là hai phần tử của T sao cho $\pi(a) = \pi(b)$. Cho $n \in \mathbf{N}$; tồn tại hai phần tử $a_n$ và $b_n$ của A sao cho $a = a_n^{p^n}, b = b_n^{p^n}$. Khi đó ta có $\pi(a_n)^{p^n} = \pi(b_n)^{p^n}$, do đó $\pi(a_n) = \pi(b_n)$, nghĩa là $a_n \equiv b_n$ mod. $m_A$. Theo Bổ đề 1 của § 1, No. 1, ta có $a_n^{p^n} \equiv b_n^{p^n}$ mod. $m_A^{n+1}$ nghĩa là $a \equiv b$ mod. $m_A^{n+1}$. Vì n là tùy ý, suy ra $a = b$.

Các tính chất a) và b) ở trên, cùng với công thức $\pi(S) = k$, suy ra quan hệ $S = T$, do đó có tính duy nhất.

Bây giờ ta chứng minh sự tồn tại của S. Với ký hiệu của Định lý 2, đặt $\varphi = u \circ \tau_k$, nghĩa là (§ 1, No. 6)

(2)

với mọi $x \in k$. Theo Mệnh đề 4 của loc. cit., ta có

(3)

Rõ ràng ánh xạ $\pi \circ \varphi$ là ánh xạ đồng nhất của $k$. Do đó ảnh S của $\varphi$ thỏa mãn các điều kiện của Mệnh đề 7.

Các phần tử của S thường được gọi là các đại diện nhân tính (hay các đại diện Teichmüller) của A.