a) L’anneau $C$ est local, d’idéal maximal $pC$.

b) Supposons $p1_C$ nilpotent. Soit $d$ le plus petit entier positif tel que $p^d1_C = 0$. Les idéaux de $C$ sont de la forme $p^kC$ avec $0 \leq k \leq d$ et l’on a $p^kC \neq p^lC$ lorsque $k$ et $l$ sont deux entiers distincts vérifiant $0 \leq k \leq d, 0 \leq l \leq d$. Le $C$-module $C$ est de longueur $d$.

c) Supposons que $p1_C$ ne soit pas nilpotent. Alors $C$ est un anneau de valuation discrète dont le corps résiduel est de caractéristique $p$, et le corps des fractions de caractéristique $0$. Les idéaux de la forme $p^nC$, avec $n \in \mathbf{N}$, sont deux à deux distincts ; ils forment tous les idéaux non nuls de $C$. Le $C$-module $C$ n’est pas de longueur finie.

L’assertion a) résulte de la prop. 19 de III, $§ 2$, no 13.

On a $\bigcap_{n \geqslant 0} p^n C = \{0\}$ par hypothèse. Soit $x \neq 0$ dans $C$; il existe un entier $n \geqslant 0$ tel que $x \in p^n C$, $x \notin p^{n+1} C$; il existe donc un élément $y$ de $C$ tel que $x = p^n y$; comme $y$ n’appartient pas à $pC$, $y$ est inversible.

Supposons que $p 1_C$ ne soit pas nilpotent. Si $x$ et $x'$ sont deux éléments non nuls de $C$, il existe deux entiers $n \geqslant 0$, $n' \geqslant 0$ et deux éléments inversibles $y$, $y'$ de $C$ tels que $x = p^n y$, $x' = p^{n'} y'$. On a alors $xx' = p^{n+n'} yy' \neq 0$, donc $C$ est intègre. Comme $C$ est un anneau local, mais n’est pas un corps et que l’idéal maximal $m_C = pC$ de $C$ est principal, $C$ est un anneau de valuation discrète (VI, $§ 3$, no 6, prop. 9). Les idéaux non nuls de $C$ sont alors de la forme $p^n C$ d’après loc. cit., prop. 8, et sont deux à deux distincts. En particulier, l’anneau $C$ n’est pas artinien, donc le $C$-module $C$ n’est pas de longueur finie. Le corps résiduel $C/pC$ de $C$ est de caractéristique $p$. Soit $q$ la caractéristique du corps des fractions de $C$. On a $p 1_C \neq 0$, d’où $p \neq q$. Par ailleurs, si $q$ était non nulle, on aurait $q 1_C = 0$ donc $C/pC$ serait de caractéristique $q \neq p$, ce qui est absurde. Ceci prouve c).

Supposons que $p 1_C$ soit nilpotent. Soit $d$ le plus petit entier positif tel que $p^d 1_C = 0$. On a une suite d’idéaux

(E)

Si $k$ est un entier tel que $0 \leqslant k < d$ et $p^k C = p^{k+1} C$, on en déduit

contrairement à l’hypothèse $p^{d-1} 1_C \neq 0$. Donc les éléments de la suite (E) sont deux à deux distincts. Soit $a$ un idéal de $C$ et soit $k$ le plus petit entier positif tel que $a \supset p^k C$. Soit $x$ un élément non nul de $a$; on a vu que $x$ est de la forme $p^m u$ avec $m \geqslant 0$ et $u$ inversible dans $C$. On a donc $p^m C \subset a$, d’où $m \geqslant k$, et finalement $x \in p^k C$. En conclusion, on a $a = p^k C$. La suite (E) est alors une suite de Jordan-Hölder du $C$-module $C$, qui est de longueur $d$.

Supposons $C$ intègre. Si $p 1_C$ est nilpotent, on a $p 1_C = 0$, et $\{0\}$ est un idéal maximal de $C$, donc $C$ est un corps de caractéristique $p$. Si $p 1_C$ n’est pas nilpotent, alors $C$ est un anneau de valuation discrète d’après la prop. 1, c).

On peut supposer $a \neq \{0\}$. Il existe alors un entier $i \geqslant 1$ tel que $a = p^i C$; l’idéal $pC/a$ de $C/a$ est maximal et l’on a $p^i 1_{C/a} = 0$, donc $C/a$ est un $p$-anneau.

Soit $C$ un $p$-anneau. On appelle longueur de $C$, et l’on note $l(C)$, la borne supérieure dans $\overline{\mathbf{R}}$ de l’ensemble des entiers $n \geqslant 1$ tels que $p^{n-1} 1_C \neq 0$. Lorsque $l(C)$ est finie, c’est la longueur du $C$-module $C$, et lorsque $l(C)$ est égale à $+ \infty$, le $C$-module $C$ n’est pas de longueur finie (prop. 1).

a) On a $l(C) \geqslant l(C')$ et $u$ est injectif si et seulement si l’on a $l(C) = l(C')$.

b) Pour que $u$ soit surjectif, il faut et il suffit que $v$ soit un isomorphisme.

c) Pour que $u$ soit un isomorphisme, il faut et il suffit que $v$ soit un isomorphisme et qu’on ait $l(C) = l(C')$.

Soit $n \geqslant 1$ un entier. On a $u(p^{n-1}1_C) = p^{n-1}1_{C'}$, donc la relation $p^{n-1}1_{C'} \neq 0$ entraîne $p^{n-1}1_C \neq 0$ et lui est équivalente si $u$ est injectif. On a donc $l(C') \leqslant l(C)$ avec égalité si $u$ est injectif. Si $u$ n’est pas injectif, il existe un entier $i < l(C)$ tel que le noyau de $u$ soit l’idéal $p^iC$ de $C$; on a alors $p^i1_{C'} = 0$, d’où $l(C') \leqslant i$. Ceci prouve a).

Comme $\kappa_C$ et $\kappa_{C'}$ sont des corps, l’homomorphisme $v$ est injectif. Si $u$ est surjectif, il en est de même de $v$ qui est donc un isomorphisme. Réciproquement, supposons $v$ surjectif. Alors pour tout entier $n \geqslant 0$, l’application $v_n : p^nC/p^{n+1}C \to p^nC'/p^{n+1}C'$ déduite de $u$ est surjective. Comme $C$ est complet pour la filtration $pC$-adique et $C'$ séparé pour la filtration $pC'$-adique, $u$ est surjectif d’après le cor. 2 du th. 1 de III, § 2, no 8. Ceci prouve b).

Enfin, c) résulte de a) et b).

Comme les applications $\pi_{n,m}$ sont surjectives, il en est de même des applications $\pi_n$ (E, III, p. 58, prop. 5). Montrons que $C$ est un $p$-anneau. Soit $d_n$ la longueur de $C_n$. D’après la prop. 2, a), la suite des éléments $d_n$ de $\mathbf{N} \cup \{ + \infty \}$ est croissante ; si elle est stationnaire, il existe un entier $n_0$ tel que $\pi_{n,m}$ soit un isomorphisme de $C_m$ sur $C_n$ lorsque $n_0 \leqslant n \leqslant m$, de sorte que $C$, isomorphe à $C_{n_0}$, est un $p$-anneau.

Il suffit donc de considérer le cas où chaque $d_n$ est fini, et où la suite $(d_n)$ tend vers $+ \infty$. Munissons l’anneau $C$ de la filtration triviale (III, § 2, no 1, exemple 5). Pour $n \in \mathbf{N}$, soit $I_n$ le noyau de $\pi_n$; posons $I_n = C$ si $n < 0$. Notons $E$ le $C$-module $C$ muni de la filtration $(I_n)_{n \in \mathbf{Z}}$. Il est séparé et complet, car la topologie $\mathscr{T}$ définie par la filtration $(I_n)_{n \in \mathbf{Z}}$ est la topologie limite projective des topologies discrètes sur les $C_n$.

Soit k un entier $\geqslant 1$. On a $p^k C \subset \varprojlim (p^k C_n)$ (E, III, p. 55, formule (9)). Réciproquement, si $x = (x_n)_{n \in \mathbf{N}} \in \varprojlim (p^k C_n)$ et si on pose $X_n = \{ y \in C | \pi_n(p^k y) = x_n \}$, la suite $(X_n)_{n \in \mathbf{N}}$ est une suite décroissante de parties affines fermées non vides de E. Comme $E/I_n$ est un C-module artinien, l’intersection des $X_n$ est non vide (III, § 2, no 7, prop. 7); pour tout $z \in \bigcap_{n \in \mathbf{N}} X_n$, on a $p^k z = x$. Nous avons donc prouvé qu’on a $p^k C = \varprojlim p^k C_n$ pour tout entier $k \geqslant 1$. En particulier l’idéal $p^k C$ de C est fermé pour la topologie $\mathscr{T}$. Sur C, la topologie $p$-adique est plus fine que la topologie $\mathscr{T}$ car on a $p^{d_n} C \subset I_n$. Il résulte alors de TG, III, p. 26, cor. 1 à la prop. 10, que C est séparé et complet pour la topologie $pC$-adique. En outre on a $pC = \varprojlim pC_n = \pi_0^{-1}(pC_0)$ et donc l’homomorphisme surjectif de $C/pC$ dans $C_0/pC_0$ déduit de $\pi_0$ est un isomorphisme. Ceci montre que l’idéal $pC$ de C est maximal et par suite que C est un $p$-anneau. La dernière assertion de la prop. 3 résulte de la prop. 2, b).

A) Cas particulier : $m_A$ nilpotent

Soit n un entier positif tel que $m_A^{n+1} = \{0\}$. Si $\Phi_n$ est le n-ième polynôme de Witt ($§ 1$, no 1), l’application $u : [a_0, ..., a_n] \mapsto \Phi_n(a_0, ..., a_n)$ est un homomorphisme d’anneaux de $W_{n+1}(A)$ dans A ($§ 1$, no 7). Soit $B_n$ l’image de $u$ et soit $C_n$ le sous-anneau de A engendré par $B_n \cup S$.

On a $pA \subset m_A$ et $B_n$ se compose des éléments de la forme $a_0^{p^n} + pa_1^{p^{n-1}} + \cdots + p^n a_n$ avec $a_0, ..., a_n$ dans $A$. Par suite, on a $\pi(B_n) = k^{p^n}$, d’où $\pi(C_n) = k^{p^n}[\pi(S)]$. Mais comme $\pi(S)$ est une $p$-base de $k$, on a $k = k^{p^n}[\pi(S)]$ (A, V, p. 96), d’où $\pi(C_n) = k$, c’est-à-dire $C_n + m_A = A$.

Soit $A'$ un sous-anneau de $A$ contenant $S$. Si $A'$ contient $C_n$, on a

Réciproquement, supposons qu’on ait $A' + m_A = A$. Soient $a_0, ..., a_n$ des éléments de $A$; il existe par hypothèse des éléments $a'_0, ..., a'_n$ de $A'$ tels que $a_i \equiv a'_i \mod m_A$ pour $0 \leq i \leq n$. D’après la prop. 1 du § 1, no 1 et l’hypothèse $m_A^{n+1} = \{0\}$, on a donc $\Phi_n(a_0, ..., a_n) = \Phi_n(a'_0, ..., a'_n) \in A'$, d’où $B_n \subset A'$. Comme $C_n$ est l’anneau engendré par $B_n \cup S$, on a $C_n \subset A'$.

Dans l’ensemble $S$ des sous-anneaux $A'$ de $A$ contenant $S$ et tels que $A' + m_A = A$, il existe d’après le lemme 1 un plus petit élément $C$, et l’on a $C_n = C$ pour tout entier $n \geq 0$ tel que $m_A^{n+1} = \{0\}$.

On a $C + m_A = A$ par construction et $p1_C$ est nilpotent. On a évidemment $pC \subset C \cap m_A$ et le lemme 2 qui suit montre donc que $pC$ est un idéal maximal de $C$ et par suite que $C$ est un sous-anneau de Cohen de $A$.

Choisissons un entier $m \geq 1$ tel que $m_A^m = \{0\}$, d’où $C = C_m = C_{m-1}$. Soit $\Lambda$ la partie de $\mathbf{N}^{(S)}$ formée des familles à support fini d’entiers $(\alpha_s)_{s \in S}$ satisfaisant à $0 \leq \alpha_s < p^m$ pour tout $s \in S$. Comme $B_m$ contient $s^{p^m} = \Phi_m(s, 0, ..., 0)$ pour tout $s \in S$, les monômes $Z_\alpha = \prod_{s \in S} s^{\alpha_s}$, où $\alpha$ parcourt $\Lambda$, engendrent $C_m$ comme $B_m$-module.

De plus, d’après la formule

tout élément de $B_m$ est de la forme $a^{p^m} + pb$ avec $a \in A$ et $b \in B_{m-1}$. Par suite tout élément de $C = C_m$ est de la forme avec $c_\alpha \in A$ pour tout $\alpha \in \Lambda$, et $y \in C_{m-1} = C$. Si $x$ appartient à $C \cap m_A$, on a $\pi(x) = 0$ d’où $\sum_{\alpha \in \Lambda} \pi(c_\alpha)^{p^m} \pi(Z_\alpha) = 0$. Comme $\pi(S)$ est une $p$-base de $k$, on a $\pi(c_\alpha) = 0$ pour tout $\alpha \in \Lambda$ d’après A, V, p. 96. On a alors $c_\alpha \in m_A$, d’où $c_\alpha^m = 0$ et $a fortiori$ $c_\alpha^{p^m} = 0$. D’après (1), on a $x = py$, d’où le lemme 2.

On a $p^m C = m_A^m = \{0\}$ pour $m$ assez grand et l’assertion b) est donc triviale. L’assertion c) résulte du lemme 1. Si $C'$ est un sous-anneau de Cohen de $A$ contenant $S$, on a $C' \supset C$ d’après le lemme 1. Mais comme l’inclusion de $C$ dans $C'$ induit un isomorphisme de $\kappa_C$ sur $\kappa_{C'}$, on a $C = C'$ (no 1, prop. 2, b)), et ceci achève de prouver a).

B) Cas général

Pour tout entier $n \geqslant 0$, notons $A_n$ l’anneau local $A/m_A^{n+1}$, $m_n = m_A/m_A^{n+1}$ son idéal maximal et $\pi_n$ l’homomorphisme canonique de $A$ sur $A_n$. D’après A), il existe un unique sous-anneau de Cohen $C_n$ de $A_n$ contenant $\pi_n(S)$. Lorsque $0 \leqslant n \leqslant m$, on note $\pi_{n,m}$ l’homomorphisme canonique de $A_m$ sur $A_n$. D’après le cor. 2 de la prop. 1 du no 1, $\pi_{n,m}(C_m)$ est un $p$-anneau ; on a $\pi_{n,m}(C_m) + m_n = A_n$, donc $\pi_{n,m}(C_m)$ est égal au sous-anneau de Cohen $C_n$ de $A_n$. D’après la prop. 3 du no 1, le sous-anneau $\lim C_n$ de $\lim A_n$ est un $p$-anneau. Posons $C = \bigcap_{n \in \mathbf{N}} \pi_n^{-1}(C_n)$. Comme $C$ est l’image réciproque de $\lim C_n$ par l’isomorphisme $a \mapsto (\pi_n(a))_{n \in \mathbf{N}}$ de $A$ sur $\lim A_n$, c’est un sous-anneau fermé de $A$, et un $p$-anneau. On a $\pi_n(C) = C_n$ pour tout $n \in \mathbf{N}$ (no 1, prop. 3), et en particulier $\pi_0(C) = A_0$, c’est-à-dire $\pi(C) = k$. Donc $C$ est un sous-anneau de Cohen de $A$.

Pour tout entier $n \geqslant 0$, posons $J_n = C \cap m_A^n$. Comme l’anneau local $A$ est séparé, on a $\bigcap_{n \in \mathbf{N}} J_n = \{0\}$, et vu la structure des idéaux d’un $p$-anneau (no 1, prop. 1), tout idéal de $C$ de la forme $p^kC$ contient l’un des $J_n$. Réciproquement, $J_n$ contient $p^nC$. Par suite, la topologie $pC$-adique de $C$ est induite par la topologie $m_A$-adique de $A$. Ceci prouve b).

Soit $A'$ un sous-anneau fermé de $A$, contenant $S$ et tel que $A' + m_A = A$. Comme $A'$ est fermé, on a $A' = \bigcap_{n \in \mathbf{N}} \pi_n^{-1}(\pi_n(A'))$. On a $\pi_n(A') \supset \pi_n(S)$ et $\pi_n(A') + m_n = A_n$, d’où $\pi_n(A') \supset C_n$ d’après ce qu’on a vu en A). Finalement, on a $\pi_n^{-1}(\pi_n(A')) \supset \pi_n^{-1}(C_n)$ d’où $A' \supset C$. Ceci prouve c). On en déduit l’unicité d’un sous-anneau de Cohen comme en A).

Prouvons l’existence de $u$. Soit $A$ le sous-anneau de $C \times C'$ formé des couples $(x, x')$ tels que $v(\pi(x)) = \pi'(x')$. L’application $(x, x') \mapsto \pi(x)$ est un homomorphisme surjectif d’anneaux de A sur $\kappa_C$. Son noyau $m$, égal à $pC \times pC'$ est donc un idéal maximal de A. Le sous-espace topologique A de $C \times C'$ est fermé dans $C \times C'$, donc complet, et la topologie induite sur A par celle de $C \times C'$ est la topologie $m$-adique. Par suite A est un anneau local séparé et complet d’idéal maximal $m$ (III, § 2, no 13, prop. 19). Pour tout $\lambda \in \Lambda$, on a $(x_\lambda, x'_\lambda) \in A$ par hypothèse ; si $\xi_\lambda$ est la classe de $(x_\lambda, x'_\lambda)$ modulo $m$, la famille $(\xi_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ est une $p$-base du corps $A/m$. D’après le th. 1 du no 2, il existe un sous-anneau de Cohen $C''$ de A, et un seul, contenant $(x_\lambda, x'_\lambda)$ pour tout $\lambda \in \Lambda$. On a $l(C'') = l(C) \geq l(C')$. La restriction à $C''$ de la projection de $C \times C'$ sur C est un homomorphisme $h : C'' \to C$ qui induit un isomorphisme de $\kappa_{C''}$ sur $\kappa_C$. D’après la prop. 2, c) du no 2, $h$ est un isomorphisme de $C''$ sur C. On voit de même que la restriction $h'$ à $C''$ de la projection de $C \times C'$ sur $C'$ est un homomorphisme surjectif de $C''$ dans $C'$. Par suite, $C''$ est le graphe d’un homomorphisme surjectif $u = h' \circ h^{-1}$ de C sur $C'$, et l’on a évidemment $v \circ \pi = \pi' \circ u$, $u(x_\lambda) = x'_\lambda$ pour tout $\lambda \in \Lambda$. En outre, si $l(C) = l(C')$, $u$ est un isomorphisme.

Prouvons l’unicité de $u$. Soit $u_1$ un homomorphisme de C dans $C'$ tel que $v \circ \pi = \pi' \circ u_1$ et $u_1(x_\lambda) = x'_\lambda$ pour tout $\lambda \in \Lambda$, et soit $C_1$ le graphe de $u_1$. Il est immédiat que $C_1$ est un sous-anneau de Cohen de A, contenant $(x_\lambda, x'_\lambda)$ pour tout $\lambda \in \Lambda$, d’où $C_1 = C''$ (th. 1 du no 2) et finalement $u_1 = u$.

L’anneau $W(k)$ des vecteurs de Witt à coefficients dans k est un anneau local intègre séparé et complet, dont le corps résiduel est isomorphe à k ($§ 1$, no 8, prop. 8), et on a $p \cdot 1_{W(k)} \neq 0$ (loc. cit., formule (52)). Soit C un sous-anneau de Cohen de $W(k)$ (no 2, th. 1). Alors C est un p-anneau de longueur $+ \infty$ dont le corps résiduel est isomorphe à k, et, si n est un entier $\geq 1$, le quotient $C/p^nC$ est un p-anneau de longueur n dont le corps résiduel est isomorphe à k.

D’après la prop. 5, il existe un p-anneau $C'$ de longueur infinie tel que $\kappa_{C'}$ soit isomorphe à $\kappa_C$. Alors $C'/p^nC' = C'_n$ est un p-anneau de longueur n, et le corps $\kappa_{C'_n}$ est isomorphe à $\kappa_{C'}$, donc à $\kappa_C$. D’après la prop. 4, les anneaux C et $C'_n$ sont donc isomorphes.

Comme $W_n(k)$ (resp. $W(k)$) est un p-anneau de corps résiduel k, et de longueur n (resp. de longueur infinie) (n° 1, exemple 2), et que $\varnothing$ est une p-base du corps parfait k, la prop. 6 est un cas particulier de la prop. 4 du n° 3.

a) Il existe un unique homomorphisme d’anneaux $u : W(k) \to A$ tel que $\pi(u(a)) = a_0$ pour $a = (a_n)_{n \in \mathbf{N}}$ dans W(k).

b) L’homomorphisme u est continu lorsqu’on munit W(k) de la topologie $pW(k)$-adique, et l’image de u est l’unique sous-anneau de Cohen de A.

D’après le th. 1 du n° 2, il existe un unique sous-anneau de Cohen de A ; notons-le C. Soit u un homomorphisme de W(k) dans A tel que $\pi(u(a)) = a_0$ pour tout $a = (a_n)_{n \in \mathbf{N}}$ dans W(k) ; il est immédiat que l’image de u est un sous-anneau de Cohen de A, donc égal à C. L’existence et l’unicité de u résultent alors de la prop. 6. La topologie $pC$-adique de C est induite par la topologie $m_A$-adique de A (n° 2, th. 1, b)), d’où la continuité de u.

Pour une construction directe de u, voir p. 70, exerc. 6.

Prouvons tout d’abord l’unicité de S. Soit S une partie multiplicative de A, telle que $\pi$ induise une bijection de S sur k. Soit T l’ensemble des éléments de A qui sont des puissances $p^n$-ièmes pour tout $n \in \mathbf{N}$.

a) On a $S \subset T$ : Soient $a \in S$ et $n \in \mathbf{N}$; comme le corps k est parfait, il existe un élément $x_n$ de k tel que $x_n^{p^n} = \pi(a)$; comme on a $\pi(S) = k$, il existe un élément $a_n$ de S tel que $x_n = \pi(a_n)$. On a alors $\pi(a_n^{p^n}) = \pi(a)$ d’où $a_n^{p^n} = a$ puisque la restriction de $\pi$ à S est injective.

b) La restriction de $\pi$ à T est injective : soient a et b deux éléments de T tels que $\pi(a) = \pi(b)$. Soit $n \in \mathbf{N}$; il existe deux éléments $a_n$ et $b_n$ de A tels que $a = a_n^{p^n}, b = b_n^{p^n}$. On a alors $\pi(a_n)^{p^n} = \pi(b_n)^{p^n}$, d’où $\pi(a_n) = \pi(b_n)$, c’est-à-dire $a_n \equiv b_n$ mod. $m_A$. D’après le lemme 1 du § 1, n° 1, on a $a_n^{p^n} \equiv b_n^{p^n}$ mod. $m_A^{n+1}$ c’est-à-dire $a \equiv b$ mod. $m_A^{n+1}$. Comme n est arbitraire, on a $a = b$.

Les propriétés a) et b) ci-dessus, jointes à la formule $\pi(S) = k$, entraînent la relation $S = T$, d’où l’unicité.

Prouvons maintenant l’existence de S. Avec les notations du th. 2, posons $\varphi = u \circ \tau_k$, c’est-à-dire (§ 1, n° 6)

(2)

pour tout $x \in k$. D’après la prop. 4 de loc. cit., on a

(3)

Il est clair que l’application $\pi \circ \varphi$ est l’application identique de $k$. Donc l’image S de $\varphi$ satisfait aux conditions de la prop. 7.

Les éléments de S sont souvent appelés les représentants multiplicatifs (ou de Teichmüller) de A.