§ 3. Corps de représentants

1. Anneaux locaux d’égales caractéristiques

Soit A un anneau. Rappelons (A, V, p. 2) que la caractéristique de A est définie lorsque A contient un sous-corps. Elle est égale à 0 si et seulement si A contient un sous-corps isomorphe à $\mathbf{Q}$ ; et égale à un nombre premier $p$ si et seulement si on a $p1_A = 0$ . Si la caractéristique de A est définie, et si $f : A \to B$ est un homomorphisme non nul d’anneaux, la caractéristique de B est définie et elle est égale à celle de A.

Soit A un anneau local, d’idéal maximal $m$ , et de corps résiduel $k$ .

a) Supposons $k$ de caractéristique 0. Alors A contient un corps et la caractéristique de A est égale à 0. En effet, l’homomorphisme canonique de $\mathbf{Z}$ dans A est injectif, et pour tout entier $n$ non nul, $n1_A$ est inversible dans A, car il n’appartient pas à $m$ .

b) Supposons $k$ de caractéristique $p \neq 0$ . Alors A contient un corps si et seulement si $p1_A = 0$ . Dans ce cas la caractéristique de A est égale à $p$ .

Supposons que A soit un anneau local intègre, de corps des fractions K et de corps résiduel $k$ .

a’) L’anneau A contient un sous-corps si et seulement si les caractéristiques de $k$ et K sont égales. Dans ce cas, la caractéristique de A est égale à celle de $k$ et de K, et on dit que A est un anneau local d’égales caractéristiques.

b’) Supposons que les corps $k$ et K n’aient pas même caractéristique. Alors il existe un nombre premier $p$ tel que $k$ soit de caractéristique $p$ . Comme on a $q1_A \neq 0$ pour tout nombre premier $q \neq p$ , le corps K est de caractéristique 0. On dit alors que A est un anneau local d’inégales caractéristiques.

2. Un théorème de relèvement

Proposition 1

Soient $k_0$ un corps, A une $k_0$ -algèbre qui est un anneau local séparé et complet, K une sous- $k_0$ -extension de $\kappa_A$ qui possède une base de transcendance séparante $(\xi_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$ sur $k_0$ (A, V, p. 130, déf. 1). Pour tout $\lambda \in \Lambda$ , soit $x_{\lambda}$ un représentant de $\xi_{\lambda}$ dans A. Il existe un unique sous-corps L de A, contenant $k_0$ et les éléments $x_{\lambda}$ , et tel que l’homomorphisme canonique $\pi$ de A sur $\kappa_A$ induise un isomorphisme de L sur K.

Soit $\varphi$ le $k_0$ -homomorphisme de l’anneau de polynômes $k_0[(X_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}]$ dans A qui applique $X_{\lambda}$ sur $x_{\lambda}$ pour tout $\lambda \in \Lambda$ . Soit $u$ un élément non nul de $k_0[(X_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}]$ ; on a $\pi(\varphi(u)) \neq 0$ , car la famille $(\xi_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$ est algébriquement libre sur $k_0$ dans $\kappa_A$ ; par suite, $\varphi(u)$ est inversible dans l’anneau local A. Il en résulte que $\varphi$ se prolonge en un homomorphisme $\psi$ du corps $k_1 = k_0((X_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda})$ dans A. Alors A est une $k_1$ -algèbre, $\kappa_A$ est une extension de $k_1$ et K une sous-extension de $\kappa_A$ qui est algébrique et séparable sur $k_1$ . Il s’agit de prouver qu’il existe un unique sous-corps L de A contenant $\psi(k_1)$ et tel que $\pi(L) = K$ .

a) Existence de L : Soit S l’ensemble des sous-corps L de A, contenant $\psi(k_1)$ et tels que $\pi(L) \subset K$ ; il est inductif pour la relation d’inclusion. Soit L un élément maximal de S ; on considère K comme une extension (algébrique et séparable, d’après A, V, p. 40, prop. 9) de L. Soit $\xi \in K$ et soit $P \in L[X]$ son polynôme minimal sur L. Comme $\xi$ est racine simple de P, le lemme de Hensel (III, § 4, no 5, cor. 1 du th. 2) assure l’existence d’un élément x de A tel que $\pi(x) = \xi$ et $P(x) = 0$ . Le sous-anneau $L[X]$ de A appartient à S ; d’après le caractère maximal de L, on a donc $x \in L$ , d’où $\xi \in \pi(L)$ . Finalement on a $\pi(L) = K$ .

b) Unicité de L : Soient L et L’ deux sous-corps de A contenant $\psi(k_1)$ et tels que $\pi(L) = \pi(L') = K$ . Soit $\xi \in K$ , et soient $x \in L$ et $x' \in L'$ les éléments tels que $\pi(x) = \pi(x') = \xi$ . Si $P \in k_1[X]$ est le polynôme minimal de $\xi$ sur $k_1$ , alors $\xi$ est racine simple de P, et l’on a $P(x) = P(x') = 0$ . D’après le lemme de Hensel (loc. cit.) on a $x = x'$ . On a donc $L = L'$ .

Remarque

\* La démonstration précédente s’applique plus généralement au cas où on suppose seulement que A est un anneau local hensélien*. La démonstration d’unicité utilise l’hypothèse que l’anneau local A est séparé, mais non qu’il est complet.

3. Corps de représentants

Définition 1

Soit A un anneau local. On appelle corps de représentants de A tout sous-corps K de A tel que l’homomorphisme canonique de A sur $\kappa_A$ induise un isomorphisme de K sur $\kappa_A$ (autrement dit, tel que $A = K + m_A$ ).

Il ne peut exister de corps de représentants de A que si A admet une caractéristique. Cette condition est suffisante lorsque A est séparé et complet. Plus précisément, on a le théorème suivant :

Théorème 1

Soit A un anneau local séparé et complet de caractéristique p.

a) Supposons $p = 0$ et soit $(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ une famille d’éléments de A dont les classes modulo $m_A$ forment une base de transcendance de $\kappa_A$ sur $\mathbf{Q}$ . Il existe un unique corps de représentants de A contenant les éléments $x_\lambda$ .

b) Supposons $p \neq 0$ . Soit $(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ une famille d’éléments de A dont les classes modulo $m_A$ forment une p-base de $\kappa_A$ (A, V, p. 95). Il existe un unique corps de représentants de A contenant les éléments $x_\lambda$ . C’est un sous-anneau de Cohen de A.

Supposons qu’on ait $p = 0$ de sorte que A est une $\mathbf{Q}$ -algèbre. Toute base de transcendance de $\kappa_A$ sur $\mathbf{Q}$ étant séparante, l’assertion a) résulte de la prop. 1 du no 1 appliquée au cas $k_0 = \mathbf{Q}$ , $K = \kappa_A$ .

Supposons maintenant qu’on ait $p \neq 0$ . Alors on a $p1_A = 0$ , et tout sous-anneau de Cohen C de A satisfait à $pC = 0$ . Autrement dit, il y a identité entre les notions de corps de représentants et de sous-anneau de Cohen de A. L’assertion b) résulte alors du § 2, no 2, th. 1.

Corollaire 1

Soit $A$ un anneau local séparé et complet, dont le corps résiduel est une extension algébrique de $\mathbf{Q}$ . Il existe alors un unique corps de représentants de $A$ . En effet l’anneau $A$ est de caractéristique 0 (no 1).

Corollaire 2

Soit $A$ un anneau local séparé et complet de caractéristique $p \neq 0$ . Supposons que le corps résiduel $\kappa_A$ soit parfait. Alors il existe un unique corps de représentants de $A$ , à savoir l’ensemble des représentants multiplicatifs. Le cor. 2 résulte aussitôt du th. 1 et de la prop. 7 du § 2, no 4.

Théorème 2

Soit $A$ un anneau local noethérien complet de dimension $d$ contenant un corps. Soit $K$ un corps de représentants de $A$ , et soit $m$ la dimension de l’espace vectoriel $m_A/m_A^2$ sur le corps $K$ . a) Il existe un idéal $a$ de $K[[T_1, ..., T_m]]$ tel que la $K$ -algèbre $A$ soit isomorphe à $K[[T_1, ..., T_m]]/a$ . b) Il existe une sous- $K$ -algèbre $A'$ de $A$ , isomorphe à $K[[T_1, ..., T_d]]$ et telle que $A$ soit une algèbre finie sur $A'$ . c) Supposons que l’anneau local noethérien $A$ soit régulier, i.e. $d = m$ . Alors il existe un $K$ -isomorphisme de $A$ sur $K[[T_1, ..., T_d]]$ . Soient $t_1, ..., t_m$ des éléments de $m_A$ dont les classes modulo $m_A^2$ engendrent le $K$ -espace vectoriel $m_A/m_A^2$ . D’après le lemme 3 du § 2, no 5, il existe un $K$ -homomorphisme surjectif de $K[[T_1, ..., T_m]]$ dans $A$ , transformant $T_i$ en $t_i$ pour $1 \leq i \leq m$ . Ceci prouve $a$ . De même, l’assertion $b$ résulte du lemme 4 de loc. cit. et de l’existence d’une suite sécante maximale pour $A$ (VIII, § 3, no 2, th. 1). Enfin, l’assertion $c$ n’est autre que le cor. 3 du th. 1 de VIII, § 5, no 2.

Exercices

See the exercises for § 3.