Soit E une extension finie de K. Soient N une extension finie quasi-galoisienne de K contenant E (A, V, p. 54, cor. 1), et L le corps des invariants du groupe des K-auto-morphismes de N. Alors (A, V, p. 73, prop. 13), L est une extension radicielle de K et N est une extension séparable de L. La fermeture intégrale B de A dans L est donc par hypothèse une A-algèbre finie ; la fermeture intégrale C de B dans N est une B-algèbre finie (V, § 1, no 6, cor. 1 à la prop. 18), donc une A-algèbre finie. La fermeture intégrale de A dans E est contenue dans C, donc est une A-algèbre finie puisque A est noethérien.

Notons K (resp. L) le corps des fractions de A (resp. B). Supposons d’abord A japonais, et soit M une extension finie de L. Notons C la fermeture intégrale de B dans M. D’après V, § 1, no 1, prop. 6, C est la fermeture intégrale de A dans M, donc est une A-algèbre finie puisque M est une extension finie de K et que A est japonais. A fortiori, C est une B-algèbre finie. Ceci prouve que B est japonais.

Inversement, supposons B japonais et soit N une extension finie de K. Notons D la fermeture intégrale de A dans N. Soit E une extension de K composée de L et N ; comme B est japonais, la fermeture intégrale D’ de B dans E est une B-algèbre finie, donc une A-algèbre finie ; le A-module D qui est un sous-module de D’ est donc de type fini, ce qui entraîne que A est japonais.

a) Soit K le corps des fractions de A. L’assertion étant triviale lorsque K est de caractéristique 0 (n° 1, corollaire de la prop. 1), on peut supposer K de caractéristique $p > 0$. On peut aussi supposer $a \neq 0$.

Soient L une extension finie radicielle de K et q une puissance de p telle que $L \subset K^{1/q}$. Posons $x = a^{1/q}$ et $M = L(x)$. D’après la prop. 1 du n° 1, il suffit de démontrer que la fermeture intégrale B de A dans M est une A-algèbre finie.

b) Démontrons d’abord que l’idéal $xB$ est l’unique idéal premier de B au-dessus de $aA$. Il existe en effet au moins un idéal premier de B au-dessus de $aA$ (V, § 2, n° 1, th. 1). Soit q l’un de ces idéaux. On a $x^q = a \in q$, d’où $xB \subset q$ puisque q est premier. Inversement, soit y un élément de q ; l’élément $y^q$ de K est entier sur A, donc appartient à A puisque A est intégralement clos. Puisque $q \cap A = aA$, il existe un élément $\alpha$ de A tel que $y^q = a\alpha = x^q\alpha$. Par conséquent l’élément $y/x$ de M est entier sur A, donc appartient à B ; ainsi on a $y \in xB$, d’où $q = xB$, ce qui démontre notre assertion.

c) Il en résulte que l’anneau $B_{xB}$ est la fermeture intégrale dans M de l’anneau $A_{aA}$ (V, § 1, n° 5, prop. 16 et § 2, n° 1, prop. 2). D’après VI, § 3, n° 6, prop. 9, $A_{aA}$ est un anneau de valuation discrète ; on déduit alors du théorème de Krull-Akizuki (VII, § 2, n° 5, prop. 5) que le corps $\kappa(xB)$ est une extension finie de $\kappa(aA)$ et que $B_{xB}$ est noethérien.

d) L’anneau $B/xB$ est entier sur l’anneau japonais $A/aA$ et son corps des fractions est une extension finie du corps des fractions de ce dernier. Par conséquent, $B/xB$ est un $(A/aA)$-module de type fini. Pour tout entier $i \geq 0$, il en est de même du module $x^iB/x^{i+1}B$ ; par suite le $(A/aA)$-module $B/aB$ possède une suite de composition de longueur q dont les quotients sont des $(A/aA)$-modules de type fini, donc est lui-même un $(A/aA)$-module de type fini.

e) Munissons l’anneau A de la filtration $(aA)$-adique et l’anneau B de la filtration $(aB)$-adique. Alors A est complet par hypothèse ; comme $B_{xB}$ est intègre et noethérien, la filtration $aB_{xB}$-adique de $B_{xB}$ est séparée (III, § 3, n° 2, corollaire à la prop. 5) ; par suite on a $\bigcap a^nB \subset \bigcap a^nB_{xB} = \{0\}$, et la filtration $aB$-adique de B est séparée ; le gr(A)-module gr(B) est engendré par gr_0(B), donc est de type fini d’après d). Il résulte alors de III, § 2, n° 9, cor. 1 à la prop. 12, que B est un A-module de type fini, ce qui achève la démonstration.

Raisonnant par récurrence, on peut supposer $n = 1$. Notons S la clôture intégrale de R ; si R est japonais, S est une algèbre finie sur R, donc un anneau japonais (n° 1, prop. 2). L’anneau S[[T]] est noethérien et intégralement clos (V, § 1, n° 4, prop. 14) ; appliquant le th. 1 à $A = S[[T]]$ et $a = T$, on en déduit que S[[T]] est japonais. Par conséquent R[[T]] est japonais (n° 1, prop. 2).

D’après le th. 3 du § 2, n° 5 et le th. 2 du § 3, n° 3, il existe un entier $n \geq 0$, un anneau R qui est un corps ou un anneau de valuation discrète de corps des fractions de caractéristique 0, et un sous-anneau B de A, isomorphe à R[[T₁, ..., Tₙ]] et tel que A soit une B-algèbre finie. Alors R est japonais (n° 1, exemple et corollaire de la prop. 1), donc B est japonais (corollaire au th. 1), et A est japonais (n° 1, prop. 2).

Supposons d’abord A local et complet, et soient p₁, ..., pₙ les idéaux premiers minimaux (distincts) de A ; pour i = 1, ..., n, notons Kᵢ le corps des fractions de A/pᵢ et Aᵢ' la clôture intégrale de A/pᵢ. Comme A est réduit, R est le produit des anneaux Kᵢ et A' le produit des anneaux Aᵢ' (V, § 1, n° 2, cor. 1 à la prop. 9). Puisque les anneaux locaux A/pᵢ sont intègres et complets, ils sont japonais (th. 2), de sorte que chaque Aᵢ' est une A-algèbre finie, et A' est une A-algèbre finie.

Si A est semi-local et complet, il est isomorphe à un produit fini d’anneaux locaux complets (III, § 2, n° 13, corollaire à la prop. 19), et on conclut aussitôt d’après ce qui précède.

Passons au cas général et notons que le complété  de A est un anneau semi-local, complet, noethérien et fidèlement plat sur A (III, loc. cit., § 3, n° 4, corollaire de la prop. 8 et § 3, n° 5, prop. 9). Soit S l’ensemble des éléments non diviseurs de zéro de A ; on a R = S⁻¹A. Puisque  est plat sur A, les éléments de S sont non diviseurs de zéro dans Â, et S⁻¹Â s’identifie à un sous-anneau de l’anneau total des fractions T de Â. Toujours puisque  est plat sur A, l’anneau A' ⊗_A  s’identifie à un sous-anneau de R ⊗_A  = S⁻¹Â, donc aussi à un sous-anneau de T entier sur Â. D’après la première partie de la démonstration, A' ⊗_A  est donc un Â-module de type fini ; par suite, A' est un A-module de type fini (I, § 3, n° 6, prop. 11).

Rappelons (A, V, p. 114, déf. 1) qu’une algèbre E sur un corps K est dite séparable si l’anneau L ⊗_K E est réduit pour toute extension L de K ; il suffit qu’il en soit ainsi pour toute extension finie de K. La proposition suivante généralise le th. 2 :

Soient L une extension finie de K et B la fermeture intégrale de A dans L. Soit F une partie finie de B telle que L = K[F] (V, § 1, n° 5, cor. 2 à la prop. 16) ; notons C la A-algèbre (finie) engendrée par F. Puisque L est le corps des fractions de C, l’anneau B est la clôture intégrale de C (V, § 1, n° 1, prop. 6) et il suffit de prouver que B est une C-algèbre finie. Or, C est un anneau semi-local noethérien (IV, § 2, n° 5, cor. 3 à la prop. 9 ) ; son complété s’identifie à C ⊗_A Â (III, § 3, n° 4, th. 3 (ii)), donc aussi à un sous-anneau de l’anneau réduit L ⊗_A Â = L ⊗_K (K ⊗_A Â) et par suite est réduit. La prop. 3 résulte donc du corollaire au th. 2.

L’homomorphisme canonique de B dans $\prod_{i=1}^n \hat{B}_{m_i}$ se prolonge en un isomorphisme de $\hat{A} \otimes_A B$ sur $\prod_{i=1}^n \hat{B}_{m_i}$.

D’après IV, § 2, no 5, cor. 3 à la prop. 9, l’anneau B est semi-local et $m_A B$ en est un idéal de définition. D’après III, § 3, no 4, th. 3, (ii), l’anneau $\hat{A} \otimes_A B$ est le complété de B pour la topologie définie par son radical ; on applique alors III, § 2, no 13, corollaire à la prop. 19.

Soit en effet m un élément non nul de M ; alors Ann(m) est contenu dans un idéal premier p de A associé à M (IV, § 1, no 1, prop. 2), et l’image de m dans $M_p$ est non nulle (II, § 2, no 2, prop. 4).

Notons N le sous-module de M formé des éléments m tels que $pm = 0$. On a $N \cap xM = xN$ ; en effet, si un élément m de M est tel que $pxm = 0$, on a $pm = 0$ puisque $x_M$ est injective, donc $m \in N$. Par conséquent, le A-module $N/xN$ est isomorphe au sous-module $(N + xM)/xM$ de $M/xM$, et il suffit de démontrer que q est associé à $N/xN$. Puisque p est associé à M, il existe un élément m de M tel que $p = \mathrm{Ann}(m)$ ; on a $m \in N$ d’où $p = \mathrm{Ann}(N)$ et par suite $\mathrm{Supp}(N/xN) = V(p + xA)$ d’après II, § 4, no 4, corollaire à la prop. 18 ; par conséquent, q est associé à $N/xN$ (IV, § 1, no 4, th. 2).

Supposons qu’il existe un élément nilpotent non nul x de B, et soit $\pi$ une uniformisante de A. Puisqu’on a $\pi B \subset m_B$, l’anneau B est séparé pour la topologie $\pi B$-adique. Il existe donc $n \in \mathbf{N}$ et $y \in B$ avec $x = \pi^n y$ et $y \notin \pi B$. Puisque B est plat sur A, la multiplication par $\pi$ est injective dans B. La classe de y dans $B/\pi B$ est donc un élément nilpotent non nul, ce qui contredit l’hypothèse.

(R$_n$) $\left\{ \begin{array}{l} \text{pour tout anneau local noethérien de Nagata } C \text{ de dimension } < n \text{ et tout idéal premier } r \text{ de } C, \text{ l’anneau } \kappa(r) \otimes_C \hat{C} \text{ est réduit.} \end{array} \right.$

Soit $A$ un anneau semi-local noethérien de Nagata de dimension $n$, soient $p$ un idéal premier de $A$ et $L$ une extension finie du corps $\kappa(p)$; il suffit de démontrer, sous l’hypothèse (R_n), que l’anneau L ⊗_A Ā est réduit. Notons B la fermeture intégrale de A/p dans L ; puisque A/p est japonais, B est une A-algèbre finie donc un anneau de Nagata semi-local (prop. 4). Notons m_1, ..., m_r les idéaux maximaux de B ; l’anneau L ⊗_A Ā s’identifie à un anneau de fractions de B ⊗_A Ā, et ce dernier s’identifie au produit des complétés des anneaux locaux B_{m_i} (n° 3, lemme 1). Il suffit donc de prouver que, pour tout idéal maximal m de B, l’anneau $\hat{B}_m$ est réduit (II, , n° 6, prop. 17). L’anneau $B_m$ est local, intégralement clos, de Nagata (prop. 4), et l’on a $\dim(B_m) \leq \dim(B) \leq \dim(A) = n$ (VIII, § 1, n° 3, prop. 6 et § 2, n° 3, th. 1). Changeant de notations, on est ramené à prouver, sous l’hypothèse (R_n), que pour tout anneau local noethérien A intégralement clos, de Nagata et de dimension $\leq n$, l’anneau $\hat{A}$ est réduit, c’est-à-dire (n° 3, lemme 2) que $\hat{A}_{p'}$ est réduit pour tout idéal premier $p' \in \mathrm{Ass}(\hat{A})$. Comme cela est immédiat si $\dim(A) = 0$, on peut supposer $\dim(A) > 0$. Soient alors x un élément non nul de $m_A$, et q’ un idéal premier de $\hat{A}$, minimal parmi ceux qui contiennent $x\hat{A} + p'$; puisque $\hat{A}_{p'}$ s’identifie à un anneau de fractions de l’anneau $\hat{A}_{q'}$, il suffit de prouver que ce dernier est réduit (II, § 2, n° 6, prop. 17). D’après le lemme 3, l’idéal q’ est associé au $\hat{A}$-module $\hat{A}/x\hat{A}$; puisque $\hat{A}$ est plat sur A, l’image réciproque q de q’ dans A est associée au A-module $A/xA$ (IV, § 2, n° 6, cor. 1 au th. 2). L’anneau A étant supposé intégralement clos, cela implique que q est de hauteur 1 (VII, § 1, n° 6, prop. 10), donc que l’anneau $A_q$ est de valuation discrète (loc. cit., n° 3, corollaire au th. 2 et n° 6, th. 4). Puisque $A/q$ est un anneau de Nagata de dimension $< n$, l’anneau $\kappa(q) \otimes_{A/q} \widehat{A/q}$ est réduit d’après l’hypothèse (R_n). L’anneau $\kappa(q) \otimes_A \hat{A}$, qui lui est isomorphe, est réduit, ainsi par conséquent que l’anneau $\kappa(q) \otimes_{A_q} \hat{A}_{q'}$, qui en est un anneau de fractions. On peut donc appliquer à l’homomorphisme canonique de $A_q$ dans $\hat{A}_{q'}$ le lemme 4 du n° 3 et on en conclut que l’anneau $\hat{A}_{q'}$ est réduit, ce qu’on voulait prouver. Le th. 3 est ainsi démontré