b) Si $A_\alpha$ est noethérien pour tout $\alpha \in A$, alors A est noethérien.

a) Posons $m = \lim \overrightarrow{m_\alpha}$; c’est un idéal de A. L’anneau quotient $A/m$ est limite inductive des corps $A_\alpha/m_\alpha$, donc est un corps (A, I, p. 116, prop. 3). Par ailleurs, tout élément de $A - m$ est inversible dans A : en effet, soit $x \in A - m$; il existe $\alpha \in I$ et $\xi \in A_\alpha$ tels que $x = \varphi_\alpha(\xi)$; on a $\xi \notin m_\alpha$, donc $\xi$ est inversible dans $A_\alpha$ et x est inversible dans A. Par conséquent, A est un anneau local, d’idéal maximal m. Soit $\alpha \in I$. Des relations $\varphi_{\beta\alpha}(m_\alpha)$ $A_\beta = m_\beta$ pour $\beta \geq \alpha$, on déduit, par passage à la limite inductive, $\varphi_\alpha(m_\alpha)$ $A = m$; enfin, l’homomorphisme $\varphi_\alpha$ est plat d’après I, § 2, no 7, prop. 9.

b) Soient $\hat{A}$ l’anneau séparé complété de A pour la topologie $m$-adique et $\pi$ l’application canonique de A dans $\hat{A}$. Supposons les anneaux $A_\alpha$ noethériens. Fixons $\alpha \in I$ et prouvons que l’anneau $\hat{A}$ est noethérien et plat sur $A_\alpha$. Par hypothèse, $m_\alpha$ est un idéal de type fini de $A_\alpha$, donc $m = \varphi_\alpha(m_\alpha)$. A est un idéal de type fini de A. Il s’ensuit que l’idéal maximal $\hat{m}$ de $\hat{A}$ est égal à $mA$ (III, § 2, no 12, cor. 2 à la prop. 16 et no 13, prop. 19), donc est de type fini. Par conséquent, l’anneau $\hat{A}$ est noethérien (loc. cit., no 10, cor. 5 au th. 2). D’autre part, pour tout $n \in \mathbf{N}$, le quotient $\hat{A}/\hat{m}^n$ est isomorphe à $A/m^n$ (loc. cit., n° 12, cor. 2 à la prop. 16 et formule (21)), ce qui signifie que $\hat{A}/\pi \circ \varphi_\alpha(m_\alpha^n)$ $\hat{A}$ est isomorphe à $A \otimes_A (A_\alpha/m_\alpha^n)$; puisque A est un $A_\alpha$-module plat, le $(A_\alpha/m_\alpha^n)$-module $\hat{A}/\pi \circ \varphi_\alpha(m_\alpha^n)$ $\hat{A}$ est plat pour tout $n \in \mathbf{N}$. D’après III, § 5, no 4, prop. 2, le $A_\alpha$-module $\hat{A}$ est idéalement séparé pour $m_\alpha$; d’après loc. cit., no 2, th. 1, le $A_\alpha$-module $\hat{A}$ est donc plat. Il en résulte par passage à la limite inductive que $\hat{A}$ est (fidèlement) plat sur A (I, § 2, no 7, prop. 9), donc que A est noethérien (I, § 3, no 5, corollaire à la prop. 8).

Comme le polynôme $P$ est unitaire, le $A$-module $B$ est libre de type fini (A, IV, p. 10). L’anneau $B/m_A B$ s’identifie à $\kappa_A[X]/(\overline{P})$, donc est un corps ; l’idéal $m_A B$ est donc maximal. Soit $q$ un idéal maximal de $B$ ; alors l’idéal $\rho^{-1}(q)$ est maximal (V, § 2, no 1, prop. 1) ; on a donc $\rho^{-1}(q) = m_A$, d’où $q \supset m_A B$ et enfin $q = m_A B$. Ainsi l’anneau $B$ est local. Le lemme 1 en résulte aussitôt.

a) L’anneau B est local et l’on a $m_A B = m_B$.

b) La A-algèbre B est fidèlement plate.

c) L’homomorphisme canonique

est bijectif.

d) Si A est noethérien, il en est de même de B et les séries de Hilbert-Samuel (VIII, § 4, no 3) de A et B sont égales.

Soit $(B_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ une famille de sous-algèbres de B satisfaisant aux conditions a), b) et c) de la déf. 2.

Soit $\Lambda'$ l’ensemble des indices $\lambda \in \Lambda$ tels que, pour tout $\mu \leq \lambda$ dans $\Lambda$, la A-algèbre $B_\mu$ soit locale et fidèlement plate, et qu’on ait $m_{B_\mu} = m_A B_\mu$. Supposons qu’on ait $\Lambda' \neq \Lambda$ et soit $v$ le plus petit élément de $\Lambda - \Lambda'$. On a $\alpha \in \Lambda'$, d’où $v \neq \alpha$. Or $S_v$ est contenu dans $\Lambda'$. Si $S_v$ n’a pas de plus grand élément, on a $B_v = \bigcup_{\lambda \in S_v} B_\lambda$ et $v$ appartient à $\Lambda'$ d’après la prop. 1 du no 1. Si $S_v$ a un plus grand élément $\mu$, on a $\mu \in \Lambda'$ et $B_v$ est un gonflement élémentaire de $B_\mu$ : on a encore $v \in \Lambda'$ d’après les remarques qui suivent la déf. 1, d’où une contradiction.

Lorsque A est noethérien, on prouve de manière analogue que l’ensemble $\Lambda''$ des indices $\lambda \in \Lambda$ tels que l’anneau $B_\lambda$ soit noethérien est égal à $\Lambda$.

On a donc $\omega \in \Lambda'$, d’où les assertions a) et b). Lorsque A est noethérien, on a $\omega \in \Lambda''$, donc $B = B_\omega$ est noethérien.

L’assertion c) résulte de a); b), et du th. 1 de III, § 5, no 2. Supposons A (donc B) noethérien ; comme on a

pour tout $n \in \mathbf{N}$, les séries de Hilbert-Samuel de A et B sont égales.

Posons alors $B = \tilde{B}_{\omega}$ et, pour tout $\lambda \in \Lambda$, notons $B_{\lambda}$ l’image de $\tilde{B}_{\lambda}$ par l’injection canonique $\tilde{B}_{\lambda} \to B$. La famille $(B_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$ satisfait aux conditions a), b), c) de la déf. 2, et B est un gonflement de A. D’autre part, l’homomorphisme $u_{\omega}$ est un A’-isomorphisme de $B \otimes_{A} A'$ dans $B'$.

En effet, l’homomorphisme $\kappa_{A} \to K$ est un gonflement (exemple 1). Appliquant le th. 1 avec $A' = \kappa_{A}$ et $B' = K$, on obtient l’existence d’un gonflement B de A et d’un A-isomorphisme de $B/m_{A}B$ sur K, d’où le corollaire.

On peut considérer k comme une extension du corps résiduel $\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$ de l’anneau local $\mathbf{Z}_{(p)}$. D’après le corollaire du th. 1, il existe un anneau local B, gonflement de $\mathbf{Z}_{(p)}$, tel que $\kappa_{B}$ soit isomorphe à k. L’anneau local $\mathbf{Z}_{(p)}$ est régulier et $\{ p \}$ est un système de coordonnées de $\mathbf{Z}_{(p)}$. D’après le corollaire de la prop. 2 du no 2, l’anneau B est régulier et $\{ pl_{B} \}$ est un système de coordonnées de B. Autrement dit, B est un anneau de valuation discrète, d’idéal maximal $pB$. Le complété C de B est alors un $p$-anneau de longueur infinie et le corps résiduel $\kappa_{C}$ est isomorphe à $\kappa_{B}$, donc à k. De plus, pour tout entier $n \geq 1$, $C/p^{n}C$ est un $p$-anneau de longueur n, de corps résiduel isomorphe à $\kappa_{C}$, donc à k.

Exercises