b) Nếu $A_\alpha$ là Noether với mọi $\alpha \in A$, thì A là Noether.

a) Đặt $m = \lim \overrightarrow{m_\alpha}$; đây là một iđêan của A. Vành thương $A/m$ là giới hạn quy nạp của các trường $A_\alpha/m_\alpha$, do đó là một trường (A, I, p. 116, Mệnh đề 3). Mặt khác, mọi phần tử của $A - m$ đều khả nghịch trong A: thật vậy, cho $x \in A - m$; tồn tại $\alpha \in I$ và $\xi \in A_\alpha$ sao cho $x = \varphi_\alpha(\xi)$; ta có $\xi \notin m_\alpha$, do đó $\xi$ khả nghịch trong $A_\alpha$ và x khả nghịch trong A. Do đó, A là một vành địa phương, với iđêan cực đại m. Cho $\alpha \in I$. Từ các hệ thức $\varphi_{\beta\alpha}(m_\alpha)$ $A_\beta = m_\beta$ với $\beta \geq \alpha$, suy ra, bằng cách chuyển qua giới hạn quy nạp, $\varphi_\alpha(m_\alpha)$ $A = m$; cuối cùng, đồng cấu $\varphi_\alpha$ là phẳng theo I, § 2, No. 7, Mệnh đề 9.

(b) Cho $\hat{A}$ là hoàn thành tách được của A đối với tôpô $m$-adic và $\pi$ là ánh xạ chính tắc của A vào $\hat{A}$. Giả sử rằng các vành $A_\alpha$ là Noether. Cố định $\alpha \in I$ và chứng minh rằng vành $\hat{A}$ là Noether và phẳng trên $A_\alpha$. Theo giả thiết, $m_\alpha$ là một iđêan sinh hữu hạn của $A_\alpha$, do đó $m = \varphi_\alpha(m_\alpha)$. A là một iđêan sinh hữu hạn của A. Suy ra iđêan cực đại $\hat{m}$ của $\hat{A}$ bằng $mA$ (III, § 2, No. 12, Hệ quả 2 của Mệnh đề 16 và No. 13, Mệnh đề 19), do đó nó là sinh hữu hạn. Do đó, vành $\hat{A}$ là Noether (loc. cit., No. 10, Hệ quả 5 của Định lý 2). Mặt khác, với mọi $n \in \mathbf{N}$, thương $\hat{A}/\hat{m}^n$ đẳng cấu với $A/m^n$ (loc. cit., No. 12, Hệ quả 2 của Mệnh đề 16 và công thức (21)), điều đó có nghĩa là $\hat{A}/\pi \circ \varphi_\alpha(m_\alpha^n)$ $\hat{A}$ đẳng cấu với $A \otimes_A (A_\alpha/m_\alpha^n)$; vì A là một $A_\alpha$-môđun phẳng, môđun $(A_\alpha/m_\alpha^n)$-$\hat{A}/\pi \circ \varphi_\alpha(m_\alpha^n)$ $\hat{A}$ là phẳng với mọi $n \in \mathbf{N}$. Theo III, § 5, No. 4, Mệnh đề 2, $A_\alpha$-môđun $\hat{A}$ là tách được lý tưởng đối với $m_\alpha$; theo loc. cit., No. 2, Định lý 1, $A_\alpha$-môđun $\hat{A}$ do đó là phẳng. Suy ra bằng cách chuyển qua giới hạn quy nạp rằng $\hat{A}$ là phẳng (trung thành) trên A (I, § 2, No. 7, Mệnh đề 9), do đó A là Noether (I, § 3, No. 5, hệ quả của Mệnh đề 8).

Vì đa thức $P$ là đơn khởi, $A$-môđun $B$ là tự do kiểu hữu hạn (A, IV, p. 10). Vành $B/m_A B$ được đồng nhất với $\kappa_A[X]/(\overline{P})$, và do đó là một trường; suy ra iđêan $m_A B$ là cực đại. Cho $q$ là một iđêan cực đại của $B$; khi đó iđêan $\rho^{-1}(q)$ là cực đại (V, § 2, no 1, mệnh đề 1); do đó ta có $\rho^{-1}(q) = m_A$, do đó $q \supset m_A B$ và cuối cùng $q = m_A B$. Vậy vành $B$ là địa phương. Bổ đề 1 suy ra ngay.

a) Vành B là địa phương và có $m_A B = m_B$.

b) $A$-đại số B là phẳng trung thành.

c) Đồng cấu chính tắc

là song ánh.

d) Nếu A là Noether, điều tương tự cũng đúng đối với B và các chuỗi Hilbert-Samuel (VIII, § 4, No. 3) của A và B là bằng nhau.

Cho $(B_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ là một họ các đại số con của B thỏa mãn các điều kiện a), b) và c) của Định nghĩa 2.

Cho $\Lambda'$ là tập hợp các chỉ số $\lambda \in \Lambda$ sao cho, với mọi $\mu \leq \lambda$ trong $\Lambda$, đại số trên A $B_\mu$ là địa phương và phẳng trung thành, và sao cho có $m_{B_\mu} = m_A B_\mu$. Giả sử rằng $\Lambda' \neq \Lambda$ và cho $v$ là phần tử nhỏ nhất của $\Lambda - \Lambda'$. Ta có $\alpha \in \Lambda'$, do đó $v \neq \alpha$. Khi đó $S_v$ được chứa trong $\Lambda'$. Nếu $S_v$ không có phần tử lớn nhất, ta có $B_v = \bigcup_{\lambda \in S_v} B_\lambda$ và $v$ thuộc $\Lambda'$ theo Mệnh đề 1 của No. 1. Nếu $S_v$ có một phần tử lớn nhất $\mu$, ta có $\mu \in \Lambda'$ và $B_v$ là một phép thổi phồng sơ cấp của $B_\mu$: lại có $v \in \Lambda'$ theo các nhận xét sau Định nghĩa 1, do đó dẫn đến một mâu thuẫn.

Khi A là Noether, ta chứng minh tương tự rằng tập hợp $\Lambda''$ của các chỉ số $\lambda \in \Lambda$ sao cho vành $B_\lambda$ là Noether bằng $\Lambda$.

Do đó ta có $\omega \in \Lambda'$, do đó có các mệnh đề a) và b). Khi A là Noether, ta có $\omega \in \Lambda''$, suy ra $B = B_\omega$ là Noether.

Mệnh đề c) suy ra từ a), b), và Định lý 1 của III, § 5, No. 2. Giả sử rằng A (do đó B) là Noether; vì ta có

với mọi $n \in \mathbf{N}$, các chuỗi Hilbert-Samuel của A và B bằng nhau.

Sau đó, ta đặt $B = \tilde{B}_{\omega}$ và, với mọi $\lambda \in \Lambda$, ký hiệu $B_{\lambda}$ là ảnh của $\tilde{B}_{\lambda}$ qua đơn ánh chính tắc $\tilde{B}_{\lambda} \to B$. Họ $(B_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$ thỏa mãn các điều kiện a), b), c) của Định nghĩa 2, và B là một phép phình của A. Mặt khác, đồng cấu $u_{\omega}$ là một đẳng cấu A' của $B \otimes_{A} A'$ lên B'.

Thật vậy, đồng cấu $\kappa_{A} \to K$ là một phép phình (Ví dụ 1). Áp dụng Định lý 1 với $A' = \kappa_{A}$ và $B' = K$, ta thu được sự tồn tại của một phép phình B của A và của một đẳng cấu A của $B/m_{A}B$ lên K, do đó có hệ quả.

Ta có thể xem k như một mở rộng của trường thặng dư $\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$ của vành địa phương $\mathbf{Z}_{(p)}$. Theo hệ quả của Định lý 1, tồn tại một vành địa phương B, là một phép phình của $\mathbf{Z}_{(p)}$, sao cho $\kappa_{B}$ là đẳng cấu với k. Vành địa phương $\mathbf{Z}_{(p)}$ là chính quy và $\{ p \}$ là một hệ tọa độ của $\mathbf{Z}_{(p)}$. Theo hệ quả của Mệnh đề 2 ở No. 2, vành B là chính quy và $\{ pl_{B} \}$ là một hệ tọa độ của B. Nói cách khác, B là một vành định giá rời rạc, với iđêan cực đại $pB$. Bao đầy đủ C của B khi đó là một $p$-vành có độ dài vô hạn và trường thặng dư $\kappa_{C}$ là đẳng cấu với $\kappa_{B}$, do đó với k. Hơn nữa, với mọi số nguyên $n \geq 1$, $C/p^{n}C$ là một $p$-vành có độ dài n, với trường thặng dư đẳng cấu với $\kappa_{C}$, do đó với k.