Gọi $\varphi$ là $k_0$-đồng cấu của vành đa thức $k_0[(X_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}]$ vào A biến $X_{\lambda}$ thành $x_{\lambda}$ với mọi $\lambda \in \Lambda$. Gọi $u$ là một phần tử khác không của $k_0[(X_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}]$; ta có $\pi(\varphi(u)) \neq 0$, bởi vì họ $(\xi_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$ là tự do đại số trên $k_0$ trong $\kappa_A$; do đó, $\varphi(u)$ là khả nghịch trong vành địa phương A. Suy ra rằng $\varphi$ mở rộng thành một đồng cấu $\psi$ của trường $k_1 = k_0((X_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda})$ vào A. Khi đó A là một $k_1$-đại số, $\kappa_A$ là một mở rộng của $k_1$ và K là một mở rộng con của $\kappa_A$ là đại số và tách được trên $k_1$. Còn phải chứng minh rằng tồn tại duy nhất một trường con L của A chứa $\psi(k_1)$ và sao cho $\pi(L) = K$.

a) Sự tồn tại của L: Gọi S là tập hợp các trường con L của A, chứa $\psi(k_1)$ và sao cho $\pi(L) \subset K$; nó là quy nạp đối với quan hệ bao hàm. Gọi L là một phần tử cực đại của S; ta xem K như một mở rộng (đại số và tách được, theo A, V, p. 40, mệnh đề 9) của L. Gọi $\xi \in K$ và gọi $P \in L[X]$ là đa thức tối tiểu của nó trên L. Vì $\xi$ là một nghiệm đơn của P, bổ đề Hensel (III, § 4, no. 5, hệ quả 1 của định lý 2) đảm bảo sự tồn tại của một phần tử x của A sao cho $\pi(x) = \xi$ và $P(x) = 0$. Vành con $L[X]$ của A thuộc S; do tính chất cực đại của L, do đó ta có $x \in L$, do đó $\xi \in \pi(L)$. Cuối cùng ta có $\pi(L) = K$.

b) Tính duy nhất của L: Gọi L và L’ là hai trường con của A chứa $\psi(k_1)$ và sao cho $\pi(L) = \pi(L') = K$. Gọi $\xi \in K$, và gọi $x \in L$ và $x' \in L'$ là các phần tử sao cho $\pi(x) = \pi(x') = \xi$. Nếu $P \in k_1[X]$ là đa thức tối tiểu của $\xi$ trên $k_1$, thì $\xi$ là một nghiệm đơn của P, và ta có $P(x) = P(x') = 0$. Theo bổ đề Hensel (loc. cit.) ta có $x = x'$. Do đó $L = L'$.

a) Giả sử $p = 0$ và $(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ là một họ các phần tử của A mà các lớp của chúng modulo $m_A$ tạo thành một cơ sở siêu việt của $\kappa_A$ trên $\mathbf{Q}$. Có một trường đại diện duy nhất của A chứa các phần tử $x_\lambda$.

b) Giả sử $p \neq 0$. Cho $(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ là một họ các phần tử của A mà các lớp của chúng modulo $m_A$ tạo thành một cơ sở p của $\kappa_A$ (A, V, p. 95). Có một trường đại diện duy nhất của A chứa các phần tử $x_\lambda$. Nó là một vành con Cohen của A.

Giả sử rằng ta có $p = 0$, sao cho A là một $\mathbf{Q}$-đại số. Mọi cơ sở siêu việt của $\kappa_A$ trên $\mathbf{Q}$ đều là tách được, nên mệnh đề a) suy ra từ mệnh đề 1 của no. 1 áp dụng cho trường hợp $k_0 = \mathbf{Q}$, $K = \kappa_A$.

Bây giờ giả sử rằng ta có $p \neq 0$. Khi đó ta có $p1_A = 0$, và mọi vành con Cohen C của A thỏa mãn $pC = 0$. Nói cách khác, có sự đồng nhất giữa các khái niệm trường đại diện và vành con Cohen của A. Mệnh đề b) khi đó suy ra từ § 2, no. 2, định lý 1.