§ 7. Bội số

Trong suốt đoạn này, $A$ ký hiệu một vành Noether.

1. Bội số của một môđun đối với một iđêan

Cho $M$ là một A-môđun hữu hạn sinh và $q$ là một iđêan của $A$ được chứa trong căn của $A$ và sao cho $M/qM$ có độ dài hữu hạn. Giả sử rằng $M$ không quy về 0 và đặt $d = \dim_A(M)$ . Theo § 4, No. 3, hệ quả của th. 2 và No. 4, nhận xét 2, tồn tại một số nguyên duy nhất $e_q(M) > 0$ sao cho, với mọi số nguyên $n \geqslant 1$

\operatorname{long}_A(M/q^{n+1}M) = e_q(M) \frac{n^d}{d!} + \beta_n n^{d-1}

trong đó $\beta_n$ tiến tới một giới hạn khi $n$ tăng vô hạn.

Định nghĩa 1

Số nguyên $e_q(M)$ được gọi là bội số của A-môđun M đối với iđêan q.

Nó cũng được ký hiệu bởi $e_q^A(M)$ khi muốn nhắc đến vành A. Khi A là địa phương với iđêan cực đại m, người ta viết $e(M)$ hoặc $e^A(M)$ thay cho $e_m(M)$ hoặc $e_m^A(M)$ .

Nhận xét 1

Nếu q’ là một iđêan của A được chứa trong căn của A và chứa q, thì ta có $e_{q'}(M) \leqslant e_q(M)$ và, nếu lọc q’-adic của M là q-tốt, thì ta có $e_{q'}(M) = e_q(M)$ (§ 4, No. 3, th. 2). 2) Nếu M có độ dài hữu hạn, thì ta có $e_q(M) = \operatorname{long}_A(M)$ (§ 4, No. 3, nhận xét 3). 3) Nếu $d > 0$ , thì ta có

\operatorname{long}_{A/q}(q^nM/q^{n+1}M) = e_q(M) \frac{n^{d-1}}{(d-1)!} + \alpha_n n^{d-2}

trong đó $\alpha_n$ tiến tới một giới hạn khi $n$ tăng vô hạn (§ 4, No. 3, hệ quả của th. 2). 4) Việc tính các bội số có thể được quy về trường hợp A là địa phương vì, theo § 4, No. 4, hệ quả của th. 3, ta có

e_q(M) = \sum e_{q_m}(M_m)

trong đó phép lấy tổng mở rộng trên các iđêan cực đại m của A sao cho

m \in \operatorname{Supp}(M) \cap V(q) \quad \text{và} \quad \dim_{A_m}(M_m) = d .

Từ các nhận xét 2 và 3 suy ra rằng $e_q(M)$ chỉ phụ thuộc vào A/q-môđun phân bậc $\operatorname{gr}_q(M)$ . Do đó:

Mệnh đề 1

Cho $\hat{A}$ và $\hat{M}$ là các hoàn thành của A và M đối với các tôpô q-adic của chúng; khi đó $e_q^A(M) = e_{q\hat{A}}(\hat{M})$ .

Mệnh đề 2

Giả sử rằng A là địa phương chính quy (§ 5, No. 1, def. 1); ta có $e(A) = 1$ . Điều này suy ra từ th. 1 của § 5, No. 2.

Nhận xét 5

Có thể xảy ra trường hợp $e(A) = 1$ mà A không chính quy (p. 104, exerc. 5). Thực vậy, một vành địa phương Noether A là chính quy khi và chỉ khi $\hat{A}$ là nguyên và ta có $e(A) = 1$ (p. 108, exerc. 24).

Ví dụ

Theo định nghĩa ta có $e_{q,r}(M) = r^d e_q(M)$ trong đó $d = \dim_A(M)$ . Do đó, nếu A là địa phương chính quy, thì ta có $e_{m_A^r}(A) = r^d$ . Ví dụ, nếu A là một vành định giá rời rạc, thì ta có $e_q(A) = \operatorname{long}(A/q)$ .

Mệnh đề 3

Cho M là một A-môđun hữu hạn sinh, có chiều d ≥ 0. Cho Φ là tập hợp các phần tử cực tiểu p của Supp(M) sao cho dim(A/p) = d. Cho q là một iđêan của A, được chứa trong căn của A, và sao cho M/qM có độ dài hữu hạn. Ta có

e_q(M) = \sum_{p \in \Phi} \operatorname{long}_{A_p}(M_p).e_q(A/p).

Hệ quả

Giả sử A là nửa địa phương và cho q là một iđêan định nghĩa của A. a) Ta có $e_q(A) = \sum_p e_q(A/p)$ , trong đó p chạy qua tập hợp các iđêan nguyên tố cực tiểu của A sao cho $\dim(A/p) = \dim(A)$ . b) Giả sử A nguyên và cho M là một A-môđun hữu hạn sinh sao cho $\dim_A(M) = \dim(A)$ . Khi đó ta có $e_q(M) = \operatorname{rg}(M).e_q(A)$ .

2. Bội số và các mở rộng phẳng

Mệnh đề 4

Cho ρ : A → B là một đồng cấu địa phương của các vành địa phương Noether, và cho N là một B-môđun hữu hạn sinh, phẳng trên A, và sao cho N ⊗_A κ_A là một B-môđun có độ dài hữu hạn. Nếu M là một A-môđun hữu hạn sinh khác không và q là một iđêan của A khác A và sao cho M/qM có độ dài hữu hạn, thì (M ⊗_A N)/(qB)(M ⊗_A N) là một B-môđun có độ dài hữu hạn, và ta có

e_{q_B}^B(M \otimes_A N) = \operatorname{long}_B(N \otimes_A \kappa_A).e_q^A(M).

Cho L là một A-môđun có độ dài hữu hạn r. Khi đó L có một dãy Jordan-Hölder độ dài r, với các thương đẳng cấu với κ_A; vì N phẳng trên A, B-môđun L ⊗_A N có một dãy hợp thành độ dài r, với các thương đẳng cấu với N ⊗_A κ_A, do đó có độ dài $r \cdot \operatorname{long}_B(N \otimes_A \kappa_A)$ . Vì B-môđun (M ⊗_A N)/(qB)^n(M ⊗_A N) đẳng cấu với (M/q^nM) ⊗_A N với mọi $n \in \mathbf{N}$ , mệnh đề suy ra từ định nghĩa các bội số.

Hệ quả

Giả sử rằng B phẳng trên A và ρ(m_A) B = m_B. Khi đó

e_{q_B}^B(M \otimes_A B) = e_q^A(M).

Điều này áp dụng đặc biệt khi B là hoàn thành \* hoặc Hensel hoá \* của A đối với một iđêan khác A, \* hoặc một phép nổ của A, chẳng hạn một Hensel hoá ngặt của A. \*

Ví dụ

\* Cho X là một đa tạp đại số phức, $\mathscr{O}_{X,x}$ là vành địa phương của X tại một điểm hữu tỉ x, $X^{an}$ là không gian giải tích liên kết với X; lại ký hiệu bởi x điểm của $X^{an}$ tương ứng với x, và cho $\mathscr{O}_{X^{an},x}$ là vành địa phương của $X^{an}$ tại x. Khi đó $e(\mathscr{O}_{X^{an},x}) = e(\mathscr{O}_{X,x})$ . \

3. Bội số và các mở rộng hữu hạn

Mệnh đề 5

Giả sử A là nửa địa phương, và gọi $\rho : A \to B$ là một đồng cấu vành làm cho B là một A-môđun hữu hạn sinh. Gọi N là một B-môđun hữu hạn sinh khác không, và q là một iđêan của A được chứa trong căn của A, sao cho $N/qN$ có độ dài hữu hạn. Trong các iđêan cực đại của B (hữu hạn về số lượng, theo IV, § 2, No. 5, hệ quả 3 của mệnh đề 9), ký hiệu bởi $m_1, ..., m_r$ những iđêan mà đối với chúng ta có $\dim_{B_{m_i}}(N_{m_i}) = \dim_B(N)$ . Đặt $B_i = B_{m_i}$ và $q_i = qB_i$ với $1 \leq i \leq r$ . Khi đó ta có các đẳng thức

\dim_A(N) = \dim_B(N),

e_{qB}^B(N) = \sum_{i=1}^r e_{q_i}^{B_i}(N_{m_i}),

e_q^A(N) = \sum_{i=1}^r [B/m_i : A/\rho^{-1}(m_i)]\ e_{q_i}^{B_i}(N_{m_i}).

Đẳng thức thứ nhất suy ra từ § 2, No. 3, định lý 1, c); đẳng thức thứ hai suy ra từ Nhận xét 4 của No. 1 (chú ý rằng $m_i$ thuộc $V(qB)$ với $1 \leq i \leq r$ vì $\rho^{-1}(m_i) \supset q$ theo V, § 2, No. 1, mệnh đề 1). Ta hãy chứng minh đẳng thức thứ ba. Gọi E là một B-môđun có độ dài hữu hạn; ta có

\operatorname{long}_A(E) = \sum_m [B/m : A/\rho^{-1}(m)].\operatorname{long}_{B_m}(E_m),

trong đó $m$ chạy trên tập hợp các iđêan cực đại của B; điều này thực ra là hiển nhiên khi E là một trong các $B/m$ , và trường hợp tổng quát suy ra từ đó, vì E có một chuỗi hợp thành mà các thương của nó đẳng cấu với $B/m$ . Áp dụng công thức này cho các B-môđun $N/q^{n+1}N$ , ta suy ra đẳng thức cần chứng minh theo định nghĩa của các bội số.

Hệ quả

Nếu $[B/m_i : A/\rho^{-1}(m_i)] = 1$ với mọi i, ta có $e_q^A(N) = e_{qB}^B(N)$ .

Bổ đề 1

Gọi $\rho : A \to B$ là một đồng cấu vành, và gọi $p$ là một iđêan nguyên tố của A. Xét hai tính chất sau: (i) đồng cấu chính tắc $\tilde{\rho}$ từ $A_p$ vào $A_p \otimes_A B$ là song ánh; (ii) tồn tại duy nhất một iđêan nguyên tố $r$ của B nằm trên $p$ và đồng cấu chính tắc $\rho_p$ từ $A_p$ vào $B_r$ là song ánh. Ta có (i) $\Rightarrow$ (ii). Nếu $p$ là cực tiểu, hoặc nếu B là nguyên trên A, ta có (i) $\Leftrightarrow$ (ii) $^1$ .

1 Bổ đề này vẫn đúng khi vành A không Noether.

Vành $A_p \otimes_A B$ được đồng nhất với vành phân thức $S^{-1}B$ của $B$ được xác định bởi tập hợp nhân $S = \rho(A - p)$ của $B$ . Do đó các iđêan nguyên tố của $S^{-1}B$ là các $S^{-1}q$ , trong đó $q$ là một iđêan nguyên tố của $B$ sao cho $\rho^{-1}(q) \subset p$ ; nếu $q$ là một iđêan như vậy, thì $(S^{-1}B)_{S^{-1}q}$ được đồng nhất với $B_q$ (II, § 2, No. 5, mệnh đề 11).

Nếu điều kiện (i) được thỏa mãn, thì tồn tại (V, § 2, No. 1, Bổ đề 1) một iđêan nguyên tố duy nhất $r$ của $B$ sao cho $\rho^{-1}(r) = p$ . Hơn nữa, $B_r$ được đồng nhất với vành phân thức $(S^{-1}B)_{S^{-1}r}$ , nên cũng được đồng nhất với $(A_p)_s$ , trong đó $s$ là ảnh ngược của $S^{-1}r$ bởi đẳng cấu $\tilde{\rho}: A_p \to S^{-1}B$ ; bây giờ $\tilde{\rho}^{-1}(S^{-1}r) = (A - p)^{-1}p = pA_p$ , do đó (ii).

Ngược lại, giả sử rằng (ii) được thỏa mãn, và gọi $r$ là iđêan nguyên tố duy nhất của $B$ nằm trên $p$ . Vì $(S^{-1}B)_{S^{-1}r}$ được đồng nhất với $B_r$ , chỉ cần chứng minh rằng $S^{-1}B$ là địa phương với iđêan cực đại $S^{-1}r$ , nghĩa là mọi iđêan nguyên tố $q$ của $B$ sao cho $\rho^{-1}(q) \subset p$ đều được chứa trong $r$ . Nếu $p$ là cực tiểu, ta có $\rho^{-1}(q) = p$ , do đó $q = r$ . Nếu $B$ nguyên trên $A$ , thì theo V, § 2, no. 1, hệ quả 2 của định lý 1, tồn tại một iđêan nguyên tố $r'$ của $B$ sao cho $q \subset r'$ và $\rho^{-1}(r') = p$ ; tất yếu có $r' = r$ , do đó $q \subset r$ .

Bổ đề 2

Giả sử rằng $A$ là nửa địa phương; gọi $q$ là một iđêan định nghĩa của $A$ , và gọi $\rho : A \to B$ là một đồng cấu vành biến $B$ thành một $A$ -môđun sinh hữu hạn. Giả sử rằng, với mọi iđêan nguyên tố (tất yếu là cực tiểu) $p$ của $A$ sao cho $\dim(A/p) = \dim(A)$ , tồn tại một iđêan nguyên tố duy nhất $r$ của $B$ nằm trên $p$ và đồng cấu chính tắc $\rho_p : A_p \to B_r$ là song ánh. Khi đó có $\dim_A(B) = \dim(A)$ và $e_q^A(B) = e_q^A(A)$ .

Gọi $\mathfrak{S}_A$ (resp. $\mathfrak{S}_B$ ) là tập hợp các iđêan nguyên tố $p$ của $A$ sao cho

\dim(A/p) = \dim(A) \quad (\text{resp. } \dim_A(B/pB) = \dim_A(B));

ta có $\mathfrak{S}_A \neq \varnothing$ . Lấy $p \in \mathfrak{S}_A$ ; theo giả thiết, tồn tại một iđêan nguyên tố của $B$ nằm trên $p$ . Khi đó ta có $\rho^{-1}(pB) = p$ (II, § 2, no. 5, hệ quả 3 của mệnh đề 11), và

\dim(A/p) = \dim(B/pB) = \dim_A(B/pB)

theo định lý 1, b) và c) của § 2, no. 3. Do đó, ta có

\dim_A(B) \geq \dim_A(B/pB) = \dim(A/p) = \dim(A) \geq \dim_A(B).

Điều này suy ra $\mathfrak{S}_A \subset \mathfrak{S}_B$ và $\dim(A) = \dim_A(B)$ . Ngược lại, nếu $p \in \mathfrak{S}_B$ , ta có các bất đẳng thức

\dim_A(B/pB) = \dim_A(B) = \dim(A) \geq \dim(A/p) \geq \dim_A(B/pB),

do đó $p \in \mathfrak{S}_A$ và $\mathfrak{S}_B = \mathfrak{S}_A$ . Theo mệnh đề 3 của no. 1 và hệ quả của nó, ta có

e_q^A(A) = \sum_{p \in \mathfrak{S}_A} e_q^A(A/p) \quad \text{và} \quad e_q^A(B) = \sum_{p \in \mathfrak{S}_B} \operatorname{long}_{A_p}(A_p \otimes_A B) e_q^A(A/p);

theo Bổ đề 1, ta có $\operatorname{long}_{A_p}(A_p \otimes_A B) = 1$ với mọi $p \in \mathfrak{S}_A$ , do đó $e_q^A(A) = e_q^A(B)$ .

Mệnh đề 6

Giả sử $A$ là nửa địa phương và rút gọn; gọi $q$ là một iđêan định nghĩa của $A$ ; gọi $A'$ là vành phân thức toàn phần của $A$ , và gọi $B$ là một A-đại số con hữu hạn của $A'$ . Khi đó $B$ là nửa địa phương và $qB$ là một iđêan định nghĩa của nó. Giả sử rằng, với mọi iđêan cực đại m của B sao cho dim(B_m) = dim(B), ta có [B/m : A/(A ∩ m)] = 1. Khi đó ta có $e_q^A(A) = e_{q_B}^B(B)$ .

Theo IV, § 2, No. 5, hệ quả 3 của mệnh đề 9, B là nửa địa phương với iđêan định nghĩa qB. Ta có $e_{q_B}^B(B) = e_q^A(B)$ theo hệ quả của Mệnh đề 5. Vì A′ được đồng nhất với $\prod_p A_p$ trong đó p chạy qua tập hợp các iđêan nguyên tố cực tiểu của A (IV, § 2, No. 5, mệnh đề 10), ánh xạ chính tắc $A_p \to A_p \otimes_A B$ là song ánh với mọi iđêan nguyên tố cực tiểu p của A. Từ đó suy ra theo các Bổ đề 1 và 2 rằng $e_q^A(B) = e_q^A(A)$ , do đó mệnh đề được chứng minh.

Ví dụ

Cho k là một trường có đặc số $\neq 2$ và lấy A là vành địa phương $k[[X, Y]]/(X^2 + Y^2)$ với trường thặng dư k. Lấy $B = k[[X, T]]/(T^2 + 1)$ trong đó $T = Y/X$ . Phân biệt hai trường hợp: nếu — 1 là bình phương của một phần tử i của k, B có hai iđêan cực đại được sinh tương ứng bởi {X, T + i} và {X, T − i}, chúng có trường thặng dư là k, và ta có $e_{m_A}^A(A) = e_{m_{AB}}^B(B) = 2$ . Nếu — 1 không là một bình phương trong k, B có một iđêan cực đại duy nhất (X) với trường thặng dư $k[T]/(T^2 + 1)$ , và ta có $e_{m_A}^A(A) = 2,\ e_{m_{AB}}^B(B) = 1$ .

4. Bội số và các dãy cát tuyến

Mệnh đề 7

Giả sử A địa phương. Gọi s là một số nguyên $\geq 1$ và, với $1 \leq i \leq s$ , gọi $\delta_i$ là một số nguyên $> 0$ , $x_i$ là một phần tử của $m_A^{\delta_i}$ , và $\xi_i$ là lớp của nó trong $m_A^{\delta_i}/m_A^{\delta_i+1}$ . Giả sử rằng $(x_1, ..., x_s)$ là một dãy cát tuyến đối với A. Gọi x là iđêan của A được sinh bởi $(x_1, ..., x_s)$ . Khi đó ta có $e(A/x) \geq \delta_1 ... \delta_s \cdot e(A)$ , với đẳng thức nếu $(\xi_1, ..., \xi_s)$ là một dãy hoàn toàn cát tuyến đối với gr(A).

Đặt $B = A/x$ , và xét các chuỗi hình thức

H_A = \sum_{n \geq 0} \operatorname{long}(m_A^n/m_A^{n+1}) \cdot T^n, \quad H_B = \sum_{n \geq 0} \operatorname{long}(m_B^n/m_B^{n+1}) \cdot T^n

và $H_B^{(s)} = (1 - T)^{-s} H_B$ . Theo mệnh đề 6 của § 4, No. 5, ta có trong $\mathbf{Z}[[T]]$ bất đẳng thức

H_B^{(s)} \geq \left( \prod_{i=1}^s \frac{1 - T^{\delta_i}}{1 - T} \right) H_A,

và có đẳng thức khi dãy $(\xi_1, ..., \xi_s)$ là hoàn toàn cát tuyến. Nhưng

R(T) = \prod_{i=1}^s \frac{1 - T^{\delta_i}}{1 - T}

là một đa thức của $\mathbf{Z}[T]$ sao cho $R(1) = \delta_1 ... \delta_s$ . Đặt $\dim(A) = d$ ; ta có $\dim(B) = d - s$ . Theo định lý 2 của § 4, No. 3, tồn tại các phần tử $R_A$ và $R_B$ của $\mathbf{Z}[T, T^{-1}]$ sao cho

H_A = (1 - T)^{-d} R_A(T), \quad R_A(1) = e(A),

H_B = (1 - T)^{-d+s} R_B(T), \quad R_B(1) = e(A/x).

Do đó ta có

(1 - T)^{-d} R_B(T) = H_B^{(s)} \geq \left( \prod_{i=1}^s \frac{1 - T^{\delta_i}}{1 - T} \right) H_A = (1 - T)^{-d} R(T) \, R_A(T),

và đẳng thức xảy ra nếu dãy

(\xi_1, ..., \xi_s)

là hoàn toàn cát tuyến. Kết luận theo Bổ đề 2 của § 4, No. 1.

Nhận xét

Ngược lại, có thể chứng minh (xem p. 103, bài tập 4) rằng nếu A là chính quy và $e(A/x) = \delta_1 ... \delta_s$ , thì dãy $(\xi_1, ..., \xi_s)$ là hoàn toàn cát tuyến.

Ví dụ

Cho $A$ là một vành chuỗi hình thức $k[[X_1, ..., X_n]]$ trên một trường $k$ ; cho $F_1, ..., F_s$ là các phần tử của A, a là iđêan do chúng sinh ra, và $B = A/a$ . Cho $P_1, ..., P_s \in k[X_1, ..., X_n]$ là các dạng ban đầu của các chuỗi $F_1, ..., F_s$ và $\delta_1, ..., \delta_s$ các bậc tương ứng của chúng. Nếu dãy $F_1, ..., F_s$ là secant trong A, ta có $e(B) \geq \delta_1 ... \delta_s$ ; nếu dãy $P_1, ..., P_s$ là hoàn toàn secant trong vành $k[X_1, ..., X_n]$ , ta có $e(B) = \delta_1 ... \delta_s$ .

Xét ví dụ vành $B = k[[X, Y]]/a$ , trong đó a được sinh bởi $X^2 + Y^3$ và $X^2 + Y^4$ ; bất đẳng thức trên cho $e(B) \geq 4$ ; nhận thấy rằng a được sinh bởi các phần tử $X^2 + Y^3$ và $Y^4 - Y^3$ , mà đối với chúng dãy các dạng ban đầu là hoàn toàn secant, ta thu được $e(B) = 6$ .

5. Các phần tử hời hợt

Trong số này, q ký hiệu một iđêan của A được chứa trong căn của A, và M là một A-môđun hữu hạn sinh khác không sao cho $M/qM$ có độ dài hữu hạn.

Mệnh đề 8

Cho $\delta > 0$ là một số nguyên, x là một phần tử của $q^\delta$ , $\xi$ là lớp của nó trong $\mathrm{gr}_\delta(A) = q^\delta/q^{\delta+1}$ và $\varphi$ là phép nhân bởi $\xi$ trong gr(A)-môđun gr(M).

a) Chiều của A-môđun $M/xM$ bằng $\dim_A(M)$ hoặc bằng $\dim_A(M) - 1$ . Trong trường hợp thứ hai, ta có $e_q(M/xM) \geq \delta e_q(M)$ .

b) Giả sử rằng $\dim_A(M) \geq 1$ và hạt nhân của $\varphi$ có độ dài hữu hạn trên $A/q$ . Khi đó ta có $\dim_A(M/xM) = \dim_A(M) - 1$ . Hơn nữa: (i) Nếu $\dim_A(M) > 1$ , ta có $e_q(M/xM) = \delta e_q(M)$ . (ii) Nếu $\dim_A(M) = 1$ , ta có với mọi số nguyên $n \geq 0$

n \delta e_q(M) \leq \mathrm{long}_A(M/x^nM) \leq n \delta e_q(M) + \mathrm{long}_{A/q}(\mathrm{Ker}\ \varphi^n),

trong đó

\varphi^n

là lần lặp thứ n của tự đồng cấu

\varphi

, và

\delta e_q(M) = e_{xA}(M) \leq \mathrm{long}_A(M/xM).

Đặt $M'' = M/xM$ ; xét các chuỗi Hilbert-Samuel $H_M = H_{M,q}$ và $H_{M''} = H_{M'',q}$ , cùng với chuỗi Poincaré $P(T) = \sum_{n \geq 0} \mathrm{long}_{A/q}(\mathrm{Ker}\ \varphi_n) \cdot T^n$ . Theo § 4, No. 3, định lý 2 và No. 4, nhận xét 2, ta có

H_M(T) = (1 - T)^{-d} R_M(T), \quad H_{M''}(T) = (1 - T)^{-d''} R_{M''}(T),

với $d = \dim_A(M)$ , $d'' = \dim_A(M'')$ , $R_M$ và $R_{M''}$ trong $\mathbf{Z}[T]$ , $R_M(1) = e_q(M)$ , $R_{M''}(1) = e_q(M'')$ . Theo bổ đề 6 của § 4, No. 5, ta có trong $\mathbf{Z}((T))$ các bất đẳng thức

(1 - T^\delta) H_M^{(1)} \leq H_{M''}^{(1)} \leq (1 - T^\delta) H_M^{(1)} + T^\delta P^{(1)} .

Đặt $R(T) = (1 - T^\delta)/(1 - T) = 1 + T + \cdots + T^{\delta-1}$ , điều này cũng có thể viết thành

(1)

(1 - T)^{-d} R(T) R_M(T) \leq (1 - T)^{-d''-1} R_{M''}(T) \leq

\leq (1 - T)^{-d} R(T) R_M(T) + (1 - T)^{-1} T^\delta P(T) .

Theo Bổ đề 2 của § 4, No. 1, bất đẳng thức thứ nhất (1) kéo theo hoặc $d'' \geq d$ , hoặc $d'' = d - 1$ và $R(1) R_M(1) \leq R_{M''}(1)$ , nghĩa là $\delta e_q(M) \leq e_q(M'')$ . Điều này chứng minh a), vì $d'' \leq d$ .

Dưới giả thiết của b), ta có $P(T) \in \mathbf{Z}[T]$ và $P(1) = \operatorname{long}_A(\operatorname{Ker} \varphi)$ . Bất đẳng thức thứ hai (1) được viết là

(1 - T)^{-d''-1} R_{M''}(T) \leq (1 - T)^{-d}(R(T) R_M(T) + T^\delta (1 - T)^{d-1} P(T)) .

Giả sử rằng ta có $d > 1$ ; khi đó Bổ đề 2 của § 4, No. 1 cho $d'' + 1 \leq d$ , do đó $d'' = d - 1$ theo phần a) của chứng minh; khi đó ta có

R_{M''}(1) \leq R(1). R_M(1)

(nơi đã dẫn), do đó (i).

Bây giờ giả sử $d = 1$ . Theo nơi đã dẫn, ta có $d'' = 0$ và

R_{M''}(1) \leq R(1). R_M(1) + P(1) .

Do đó, $M''$ có độ dài hữu hạn bằng $e_q(M'') = R_{M''}(1)$ , và ta thu được

(2)

\delta e_q(M) \leq \operatorname{long}_A(M/xM) \leq \delta e_q(M) + \operatorname{long}_A(\operatorname{Ker} \varphi) .

Cho $n \geq 1$ là một số nguyên. Thay $x$ bởi $x^n$ trong (2); vì thế ta có

(3)

n \delta e_q(M) \leq \operatorname{long}_A(M/x^nM) \leq n \delta e_q(M) + \operatorname{long}_A(\operatorname{Ker} \varphi^n) .

Ngay lập tức thấy rằng các môđun con $\operatorname{Ker} \varphi^n$ của gr(A)-môđun Noether gr(M) tạo thành một dãy tăng và do đó dừng, và mỗi môđun trong chúng đều có độ dài hữu hạn trên $A/q$ . Chia cho $n \geq 1$ trong bất đẳng thức (3) và cho $n$ tiến tới $+ \infty$ , ta được $e_{xA}(M) = \delta e_q(M)$ theo định nghĩa của $e_{xA}(M)$ .

Bổ đề 3

Cho $R$ là một vành phân bậc Noether với các bậc $\geq 0$ , $E$ là một $R$ -môđun phân bậc kiểu hữu hạn sao cho $E_n$ là một $R_0$ -môđun có độ dài hữu hạn với mọi $n \in \mathbf{Z}$ . Các điều kiện sau là tương đương: (i) $E$ là một $R$ -môđun có độ dài hữu hạn; (ii) tồn tại một số nguyên $n_0$ sao cho $E_n = 0$ với $n \geq n_0$ ; (iii) mọi iđêan nguyên tố của $R$ liên kết với $E$ đều chứa $R_+ = \bigoplus_{n \geq 1} R_n$ .

(i) ⇔ (ii): điều này là hiển nhiên. (iii) ⇒ (i): cho $p$ là một iđêan nguyên tố liên kết với E. Nếu (iii) được thỏa mãn, ta có $p = p_0 + R_+$ trong đó $p_0$ là một iđêan nguyên tố của $R_0$ , và R-môđun $R/p$ đẳng cấu với $R_0/p_0$ . Theo IV, § 3, No. 1, hệ quả của Mệnh đề 1, $R_0$ -môđun $R_0/p_0$ đẳng cấu với một môđun con của một trong các $E_k$ , nên có độ dài hữu hạn. Do đó, $R/p$ có độ dài hữu hạn. Theo IV, § 2, No. 5, Mệnh đề 7, vì vậy $p$ là cực đại. Do tính tùy ý của $p$ , R-môđun E có độ dài hữu hạn (nơi đã dẫn). (i) ⇒ (iii): cho $p$ là một iđêan nguyên tố liên kết với E. Khi đó $p$ là phân bậc (IV, § 3, No. 1, Mệnh đề 1) và cực đại (IV, § 2, No. 5, Mệnh đề 7), nên chứa $R_+$ (§ 6, No. 2, Bổ đề 1).

Mệnh đề 9

Gọi $p_1, ..., p_r$ là những iđêan nguyên tố của vành phân bậc $\mathrm{gr}(A) = \bigoplus_n (q^n/q^{n+1})$ liên kết với môđun phân bậc $\mathrm{gr}(M) = \bigoplus_n (q^n M/q^{n+1} M)$ và không chứa $\mathrm{gr}_1(A) = q/q^2$ . Gọi $\delta$ là một số nguyên $> 0$ , $\xi$ là một phần tử của $\mathrm{gr}_\delta(A)$ , và $\varphi : \mathrm{gr}(M) \to \mathrm{gr}(M)$ là phép vị tự tỉ số $\xi$ trong $\mathrm{gr}(M)$ . Để $\varphi_n$ là đơn ánh với mọi $n$ đủ lớn, điều kiện cần và đủ là $\xi$ không thuộc iđêan nào trong các $p_i$ . Thật vậy, các iđêan nguyên tố liên kết với $\mathrm{gr}(A)$ -môđun $\mathrm{Ker}\, \varphi$ chính là những iđêan nguyên tố trong số các iđêan nguyên tố liên kết với $\mathrm{gr}(M)$ mà chứa $\xi$ (IV, § 1, No. 1, Định nghĩa 1). Theo Bổ đề 3, $(\mathrm{Ker}\, \varphi)_n$ bằng không với $n$ đủ lớn khi và chỉ khi mọi iđêan ấy đều chứa $\mathrm{gr}_+(A)$ (hay, điều tương đương, $\mathrm{gr}_1(A)$ ), do đó suy ra mệnh đề.

Định nghĩa 2

Cho A là một vành Noether, q là một iđêan của A được chứa trong căn của A, và M là một A-môđun hữu hạn sinh sao cho $M/qM$ có độ dài hữu hạn. Một phần tử x của A được gọi là hời hợt đối với M tương đối với q nếu nó thuộc q và nếu, với mọi $n$ đủ lớn, ánh xạ $q^n M/q^{n+1} M \to q^{n+1} M/q^{n+2} M$ cảm sinh bởi phép nhân với x là đơn ánh.

Nhận xét 1

Cho $\delta$ là một số nguyên $> 0$ . Đôi khi người ta nói rằng một phần tử x của A là hời hợt cấp $\delta$ đối với M tương đối với q nếu $x \in q^\delta$ , và nếu, với mọi $n$ đủ lớn, ánh xạ $q^n M/q^{n+1} M \to q^{n+\delta} M/q^{n+\delta+1} M$ cảm sinh bởi phép nhân với x là đơn ánh. Theo thuật ngữ này, các phần tử hời hợt theo nghĩa của Định nghĩa 2 chính là các phần tử hời hợt cấp 1. 2) Với các ký hiệu của Mệnh đề 9, x là hời hợt cấp $\delta$ khi và chỉ khi lớp $\xi$ của nó trong $\mathrm{gr}_\delta(A)$ không thuộc iđêan nào trong các $p_i$ . 3) Theo III, § 1, No. 4, Mệnh đề 8, tồn tại một phần tử thuần nhất của $\mathrm{gr}(A)$ có bậc $> 0$ mà không thuộc iđêan nào trong các $p_i$ . Do đó, tồn tại một số nguyên $\delta > 0$ và một phần tử hời hợt cấp $\delta$ đối với M. 4) Giả sử A là địa phương với trường thặng dư k, và xét ánh xạ chính tắc toàn ánh $\lambda : q \to q \otimes_A k$ . Nó là hợp thành của các ánh xạ chính tắc $q \to q/q^2$ và $\bar{\lambda} : q/q^2 \to q \otimes_A k$ . Theo bổ đề Nakayama, mỗi không gian con vectơ $V_i = \bar{\lambda}(p_i \cap (q/q^2))$ của $q \otimes_A k$ đều phân biệt với $q \otimes_A k$ ; nếu $\alpha \in q \otimes_A k$ không thuộc không gian nào trong các $V_i$ , thì $\lambda^{-1}(\alpha)$ gồm các phần tử hời hợt đối với M (Mệnh đề 9). Nếu k là vô hạn, hợp của các $V_i$ phân biệt với $q \otimes_A k$ và vì thế tồn tại các phần tử hời hợt đối với M.

Định lý 1

Cho $A$ là một vành Noether, $q$ một iđêan của $A$ được chứa trong căn của $A$ và $M$ một $A$ -môđun sinh hữu hạn sao cho $M/qM$ có độ dài hữu hạn. Cho $x_1, ..., x_m$ là một dãy hữu hạn các phần tử của $q$ . Đặt $x = Ax_1 + \cdots + Ax_m \subset q$ .

a) Ta có $\dim_A(M/xM) \geq \dim_A(M) - m$ .

b) Nếu $\dim_A(M/xM) = \dim_A(M) - m$ , thì $e_q(M/xM) \geq e_q(M)$ .

c) Nếu $m < \dim_A(M)$ , và nếu với $i = 1, ..., m$ , phần tử $x_i$ của $A$ là nông đối với $M/(x_1M + \cdots + x_{i-1}M)$ tương đối với $q$ , thì ta có

\dim_A(M/xM) = \dim_A(M) - m \quad \text{và} \quad e_q(M/xM) = e_q(M) .

d) Nếu $m = \dim_A(M)$ , và nếu, với $i = 1, ..., m$ , phần tử $x_i$ của $A$ là nông đối với $M/(x_1M + \cdots + x_{i-1}M)$ tương đối với $q$ , thì ta có

e_q(M) = e_x(M) \leq \operatorname{long}(M/xM) < + \infty .

Các phần $a), b),$ và c) suy ra, với $m = 1$ , từ Mệnh đề 8, và trường hợp tổng quát được suy ra bằng quy nạp. Giả sử các giả thiết của d) được thỏa mãn và đặt $x' = Ax_1 + \cdots + Ax_{m-1}$ và $M' = M/x'M$ , sao cho $M/xM$ được đồng nhất với $M'/x_mM'$ . Khi đó, theo c), ta có $\dim_A(M') = 1$ và $e_q(M) = e_q(M')$ . Theo Mệnh đề 8, $M/xM$ có độ dài hữu hạn và ta có $e_q(M') = e_{x_mA}(M') \leq \operatorname{long}(M/xM)$ . Nhưng, vì $x_m^nM' = x^nM'$ với mọi $n$ , ta có $e_{x_mA}(M') = e_x(M')$ . Mặt khác, ta có $e_x(M') \geq e_x(M)$ : điều này suy ra từ b), trong đó $m$ được thay bằng $m - 1$ , $x$ bằng $x'$ , và $q$ bằng $x$ . Do đó, ta có

e_x(M) \leq e_x(M') = e_{x_mA}(M') = e_q(M') = e_q(M) .

Vì $x$ được chứa trong $q$ , điều này kéo theo $e_x(M) = e_q(M)$ (No. 1, Nhận xét 1), và hoàn thành chứng minh.

Hệ quả

Giả sử rằng $A$ là địa phương, với trường thặng dư vô hạn, và đặt $d = \dim_A(M)$ . Tồn tại một dãy $x_1, ..., x_d$ các phần tử của $q$ sao cho, khi đặt $x = Ax_1 + \cdots + Ax_d$ , ta có

e_q(M) = e_x(M) \leq \operatorname{long}(M/xM) < + \infty .

Điều này suy ra ngay từ định lý và Nhận xét 4.

Nhận xét 5

Trong tình huống của hệ quả trước, ta có

e_q(M) = e_x(M) \leq \operatorname{long}(M/xM)

và $\operatorname{long}(M/qM) \leq \operatorname{long}(M/xM)$ ; cả ba trường hợp

e_q(M) < \operatorname{long}(M/qM) , \quad e_q(M) = \operatorname{long}(M/qM) , \quad e_q(M) > \operatorname{long}(M/qM)

đều có thể xảy ra (p. 106, Bài tập 16 và 17).

Bài tập

Xem các bài tập của § 7.