Exemple 5

Soit $(E_i)_{i \in I}$ une famille de magmas. Notons $\tau_i$ la loi de composition sur $E_i$. L’application

est une loi de composition sur le produit $E = \prod_{i \in I} E_i$, appelée produit des lois $\tau_i$. L’ensemble E, muni de cette loi, s’appelle le magma produit des magmas $E_i$. En particulier, si tous les magmas $E_i$ sont égaux à un même magma M, on obtient le magma des applications de I dans M.

Soit $(x, y) \mapsto x \top y$ une loi de composition sur un ensemble E. Etant données deux parties quelconques X, Y de E, on désignera par $X \top Y$ (pourvu que cette notation ne prête pas à confusion¹) l’ensemble des éléments $x \top y$ de E, tels que $x \in X, y \in Y$ (autrement dit, l’image de $X \times Y$ par l’application $(x, y) \mapsto x \top y$).

Si $a \in E$, on écrit généralement $a \top Y$ au lieu de $\{a\} \top Y$, et $X \top a$ au lieu de $X \top \{a\}$. L’application $(X, Y) \mapsto X \top Y$ est une loi de composition sur l’ensemble des parties de E.