Exemple 4

Soient E un magma et R une relation d’équivalence sur E, compatible avec la loi de E (I, p. 11). Si e est élément neutre de E, l’image canonique de e dans E/R est élément neutre du magma E/R.

L’application identique d’un magma unifère est un homomorphisme unifère; le composé de deux homomorphismes unifères en est un. Pour qu’une application soit un isomorphisme de magmas unifères, il faut et il suffit que ce soit un homomorphisme unifère bijectif et l’application réciproque est alors un homomorphisme unifère. Soient E et E' des magmas unifères, e' l’élément neutre de E'; l’application constante de E dans E' appliquant E en e' est un homomorphisme unifère, appelé homomorphisme trivial.

Le produit d’une famille de magmas unifères (resp. de monoïdes) est un magma unifère (resp. un monoïde).

Tout magma quotient d’un magma unifère (resp. d’un monoïde) est un magma unifère (resp. un monoïde).

Soient E un magma unifère, e son élément neutre. On appelle sous-magma unifère de E un sous-magma A de E tel que $e \in A$. Il est clair que e est élément neutre du magma A. Toute intersection de sous-magmas unifères de E est un sous-magma unifère de E. Si X est une partie de E, il existe donc un plus petit sous-magma unifère de E contenant X; on l’appelle le sous-magma unifère de E engendré par X; il est égal à \{e\} si X est vide. Si E est un monoïde, on appelle sous-monoïde de E un sous-magma unifère de E.

Si F est un magma sans élément neutre, un sous-magma de F peut posséder un élément neutre. Par exemple, si F est associatif et si h est un élément idempotent de F (I, p. 7), l’ensemble des $h \mathbin{\top} x \mathbin{\top} h$, où x parcourt F est un sous-magma de F admettant h pour élément neutre.

Si E est un magma d’élément neutre e, il peut se faire qu’un sous-magma A de E tel que $e \notin A$ possède un élément neutre.