Exemple 2

Dans l’ensemble des applications de $E$ dans $E$, un élément $f$ est inversible à gauche (resp. inversible à droite) si $f$ est une injection (resp. surjection). Les inverses à gauche (resp. inverses à droite) sont alors les rétractions (resp. sections) associées à $f$ (E, II, p. 18, déf. 11). Pour que $f$ soit inversible, il faut et il suffit que $f$ soit une bijection. Son unique inverse est alors la bijection réciproque de $f$.

Soient $E$ et $F$ deux magmas unifères, et $f$ un homomorphisme unifère de $E$ dans $F$. Si $x'$ est inverse de $x$ dans $E$, $f(x')$ est inverse de $f(x)$ dans $F$. Par suite, si $x$ est un élément inversible de $E$, $f(x)$ est un élément inversible de $F$.

En particulier, si $R$ est une relation d’équivalence compatible avec la loi d’un magma unifère E, l’image canonique dans E/R d’un élément inversible de E est inversible.