Remarque 2

Pour l’existence d’une solution du problème d’application universelle ci-dessus, il est inutile de supposer le monoïde $E$ commutatif, ainsi qu’il résulte de E, IV, p. 23 et p. 24 (cf. I p. 121, exerc. 17).

Mentionnons deux cas particuliers importants de monoïdes de fractions.

a) Soit $\overline{E} = E_E$. Comme le monoïde $\overline{E}$ est engendré par l’ensemble $\varepsilon(E) \cup \varepsilon(E)^*$ qui se compose d’éléments inversibles, tout élément de $\overline{E}$ est inversible (I, p. 16, cor. 2). Autrement dit, $\overline{E}$ est un groupe commutatif. De plus d’après le th. 1, tout homomorphisme $f$ de $E$ dans un groupe $G$ se factorise de manière unique sous la forme $f = \tilde{f} \circ \varepsilon$ où $\tilde{f} : \overline{E} \to G$ est un homomorphisme. On dit que $\overline{E}$ est le groupe des fractions de $E$ (ou groupe des différences de $E$ dans le cas de la notation additive).

b) Soit $\Phi = E_\Sigma$, où $\Sigma$ se compose des éléments simplifiables de $E$. D’après I, p. 18, prop. 6, (ii), l’homomorphisme canonique de $E$ dans $\Phi$ est injectif; on en profitera pour identifier $E$ à son image dans $\Phi$. Par suite, $E$ est un sous-monoïde de $\Phi$, tout élément simplifiable de $E$ a un inverse dans $\Phi$, et tout élément de $\Phi$ est de la forme $a/p = a.p^*$ avec $a \in E$ et $p \in \Sigma$; on a $a/p = a'/p'$ si et seulement si l’on a $ap' = pa'$. On voit facilement que les éléments inversibles de $\Phi$ sont les fractions $a/p$ avec $a$ et $p$ simplifiables et que $p/a$ est l’inverse de $a/p$.

Soit maintenant S un ensemble d’éléments simplifiables de E, et soit S’ le sous-monoïde de E engendré par S. Si $a/p$ et $a'/p'$ sont deux éléments de $E_S$, on a $a/p = a'/p'$ si et seulement si $ap' = pa'$ (car $sap' = spa'$ entraîne $ap' = pa'$ pour tout $s \in S'$). On peut donc identifier $E_S$ au sous-monoïde de $\Phi$ engendré par $E \cup S^*$.

Lorsque tout élément de E est simplifiable, on a $\Phi = \overline{E}$ et E est un sous-monoïde du groupe commutatif $\Phi$. Inversement, si E est isomorphe à un sous-monoïde d’un groupe, tout élément de E est simplifiable.