Exemple 7

Soit $f : E \times E \to E$ une loi de composition sur un ensemble E. L’application $\gamma : x \mapsto \gamma_x$ (resp. $\delta : x \mapsto \delta_x$) (I, p. 14) qui, à un élément $x \in E$ fait correspondre la translation à gauche (resp. à droite) par $x$, est une action de E sur lui-même; on l’appelle l’action à gauche (resp. à droite) de E sur lui-même déduite de la loi donnée. Lorsque $f$ est commutative, ces deux actions coïncident.

La loi d’action à gauche (resp. à droite) associée à $\gamma$ est $f$ (resp. la loi opposée à $f$). La loi d’action à droite (resp. à gauche) associée à $\delta$ est $f$ (resp. la loi opposée à $f$).

Soient $\Omega, E, F$ des ensembles, $\alpha \mapsto f_\alpha$ une action de $\Omega$ sur E, $\alpha \mapsto g_\alpha$ une action de $\Omega$ sur F. On appelle $\Omega$-morphismisme de E dans F, ou application de E dans F compatible avec les actions de $\Omega$, une application h de E dans F telle que

1 Ou parfois la loi de composition externe sur E ayant $\Omega$ comme ensemble d’opérateurs.

quels que soient $\alpha \in \Omega$ et $x \in E$. Le composé de deux $\Omega$-morphismes est un $\Omega$-morphisme.

Soient $\Omega, \Xi, E, F$ des ensembles, $\alpha \mapsto f_\alpha$ une action de $\Omega$ dans $E$, $\beta \mapsto g_\beta$ une action de $\Xi$ dans $F$, $\varphi$ une application de $\Omega$ dans $\Omega'$. On appelle $\varphi$-morphism de $E$ dans $F$ une application $h$ de $E$ dans $F$ telle que

quels que soient $\alpha \in \Omega$ et $x \in E$.