Remarque 2

Étiquette 0DE6, permanente. À citer comme [Bourbaki, Tag 0DE6].

Algebra, chapter I, § 4. Groupes et groupes à opérateurs

Pour tout sous-groupe H de G, on a les relations

H.H = H \quad \text{et} \quad H^{-1} = H.

En effet, on a

H.H \subset H

H^{-1} \subset H

d’après b). Comme

e \in H

, on a

H.H \supset e.H = H

, et le passage à l’inverse transforme l’inclusion

H^{-1} \subset H

H \subset H^{-1}

, d’où les formules (1).

Si $H$ est un sous-groupe stable de $G$ , et $K$ un sous-groupe stable de $H$ , il est clair que $K$ est un sous-groupe stable de $G$ .

L’ensemble $\{e\}$ est le plus petit sous-groupe stable de $G$ . L’intersection d’une famille de sous-groupes stables de $G$ est un sous-groupe stable. Il y a donc un plus petit sous-groupe stable $H$ de $G$ contenant une partie donnée $X$ de $G$ ; on l’appelle le sous-groupe stable engendré par $X$ , et on dit que $X$ est un système générateur (ou ensemble générateur) de $H$ .

Bourbaki place la démonstration juste après l’énoncé : ce qui précède est l’énoncé avec sa démonstration.

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Rien.

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Rien.