Remarque 2

Si $H$ est un sous-groupe distingué d’indice fini de $G$, le groupe quotient $G/H$ est un groupe fini d’ordre ($G : H$).

On notera que si $H$ est un sous-groupe distingué d’un groupe $G$ et si $K$ est un sous-groupe distingué de $H$, $K$ n’est pas nécessairement un sous-groupe distingué de $G$ (I, p. 130, exerc. 10).

Soit $G$ un groupe à opérateurs. L’intersection de toute famille de sous-groupes stables distingués de $G$ est un sous-groupe stable distingué. Par suite, pour toute partie X de G, il existe un plus petit sous-groupe stable distingué contenant X, appelé sous-groupe stable distingué engendré par X.

Dans un groupe à opérateurs G, les sous-groupes stables G et {e} sont distingués.