Exemple 2

Soit M un monoïde. L’action à gauche (resp. à droite) de M sur lui-même déduite de la loi de M (I, p. 24, Exemple 7) est une opération à gauche (resp. à droite) de M sur lui-même. Lorsqu’on considère cette opération, on dit que M opère sur lui-même par translations à gauche (resp. à droite).

Soient E un M-ensemble à gauche (resp. à droite) et $M^0$ le monoïde opposé à M. Pour la même action, le monoïde $M^0$ opère à droite (resp. à gauche) sur E. Le $M^0$-ensemble obtenu est dit opposé au M-ensemble E. Les définitions et résultats relatifs aux M-ensembles à gauche se transposent aux $M^0$-ensembles à droite par passage aux structures opposées.

Dans la suite de ce paragraphe, on ne considérera, sauf mention expresse du contraire, que des M-ensembles à gauche qu’on appellera simplement M-ensembles. Leur loi d’action sera notée multiplicativement à gauche.

Soit E un ensemble. Soit G un groupe opérant sur E. Pour tout $\alpha$ dans G, l’élément de $E^E$ défini par $\alpha$ est une permutation de E (I, p. 15, n° 3, Exemple 2). Se donner une opération de G sur E revient donc à se donner un homomorphisme de G dans $\mathfrak{S}_E$.

Conformément à I, p. 24, on pose la définition suivante: