Exemple

Si E est un G-ensemble, chaque orbite de E, munie de l’opération induite, est un ensemble homogène sous G.

Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. Considérons l’ensemble G/H des classes à gauche suivant H. Le groupe G opère à gauche sur G/H par (g, xH) ↦ gxH. Soit N le normalisateur de H. Le groupe N opère à droite sur G/H par (xH, n) ↦ xHn = xnH. Cette opération induit sur H l’opération triviale, donc, par passage au quotient, N/H opère à droite sur G/H. Soit φ : (N/H)^0 → S_{G/H} l’homomorphisme correspondant à cette opération.