Exemple 4

Étiquette 0DEG, permanente. À citer comme [Bourbaki, Tag 0DEG].

Algebra, chapter I, § 5. Groupes opérant sur un ensemble

\* Un ensemble principal homogène sous le groups additif d’un espace vectoriel est appelé un espace affine (cf. II, p. 126).*

Le groupe des automorphismes du G-ensemble principal homogène $G_s$ (Exemple 1) est le groupe des translations à droite de G qu’on identifie à $G^0$ (I. p. 56, prop. 5). Soient E un G-ensemble principal homogène, $a$ un élément de E. L’application orbitale $\omega_a$ définie par $a$ est un isomorphisme du G-ensemble $G_s$ sur E. Par transport de structure on en déduit un isomorphisme $\psi_a$ de $G^0$ sur Aut(E). On prendra garde que $\psi_a$ dépend en général de $a$ ; plus précisément, pour $\alpha \in G$ , on a

\psi_{\alpha a} = \psi_a \circ \mathrm{Int}_{G^0}(\alpha) = \psi_a \circ \mathrm{Int}(\alpha^{-1}).

En effet, en notant $\delta_\alpha$ la translation $x \mapsto x\alpha$ dans G, on a

\omega_{\alpha a} = \omega_a \circ \delta_\alpha

\psi_a(x) = \omega_a \circ \delta_x \circ \omega_a^{-1}, \quad x \in G,

d’où

\psi_{\alpha a}(x) = \omega_a \circ \delta_\alpha \circ \delta_x \circ \delta_\alpha^{-1} \circ \omega_a^{-1} = \omega_a \circ \delta_{\alpha^{-1} x \alpha} \circ \omega_a^{-1} = \psi_a(\alpha^{-1} x \alpha).

Bourbaki place la démonstration juste après l’énoncé : ce qui précède est l’énoncé avec sa démonstration.

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