Exemple 2

Le groupe dérivé du groupe symétrique $\mathfrak{S}_n$ est le groupe alterné $\mathfrak{A}_n$. En effet, $\mathfrak{A}_n$ est engendré par les produits de deux transpositions; si $\tau = \tau_{x,y}$ et $\tau' = \tau_{x',y'}$ sont deux transpositions, soit $\sigma$ une permutation telle que $\sigma(x') = x$ et $\sigma(y') = y$. On a $\tau' = \sigma^{-1} \tau \sigma$ et $\tau \tau' = \tau^{-1} \tau' = \tau^{-1} \sigma^{-1} \tau \sigma$ est un commutateur. Donc $\mathfrak{A}_n \subset D(\mathfrak{S}_n)$. Comme $\mathfrak{S}_n / \mathfrak{A}_n$ est commutatif, on a $\mathfrak{A}_n \supset D(\mathfrak{S}_n)$ (cor. 3).