Exemple 4

Si G est un groupe résoluble de classe $p$ et F un groupe résoluble de classe $q$, toute extension E de G par F est un groupe résoluble de classe $\leq p + q$. En effet, soit $\pi : E \to G$ la projection; on a $\pi(D^p(E)) \subset D^p(G) = \{e\}$ et par suite $D^p(E) \subset F$; on en déduit que $D^{p+q}(E) = D^q(D^p(E)) \subset D^q(F) = \{e\}$.