Exemple 4

Soit $G$ un groupe commutatif à opérateurs; on note $\Omega$ l’ensemble d’opérateurs et $\alpha \mapsto f_\alpha$ l’action de $\Omega$ sur $G$. Soit $E$ l’anneau des endomorphismes du groupe sans opérateurs $G$ et $F$ l’ensemble des endomorphismes du groupe à opérateurs $G$. Par définition, $F$ se compose des endomorphismes $\varphi$ de $G$ tels que $\varphi \cdot f_\alpha = f_\alpha \cdot \varphi$ pour tout $\alpha \in \Omega$. Par suite, $F$ est un sous-anneau de l’anneau $E$. On appelle $F$ l’anneau des endomorphismes du groupe à opérateurs $G$ (cf. II, p. 5). Soit $F_1$ le sous-anneau de $E$ engendré par les $f_\alpha$. Alors $F$ est le commutant de $F_1$ dans $E$.