Exemple 3

Soient E un groupe commutatif noté additivement, $\mathscr{E}$ l’anneau des endomorphismes de E (I, p. 96: on rappelle que le produit $fg$ de deux endomorphismes est par définition l’endomorphisme composé $f \circ g$). La loi d’action $(f, x) \mapsto f(x)$ entre opérateurs $f \in \mathscr{E}$ et éléments $x \in E$ définit sur E une structure canonique de $\mathscr{E}$-module à gauche.

Considérons maintenant un anneau A et supposons donnée sur E une structure de A-module à gauche (resp. à droite); pour tout $\alpha \in A$, l’homothétie $h_\alpha : x \mapsto \alpha x$ (resp. $x \mapsto x\alpha$) appartient à $\mathscr{E}$; l’application $\varphi : \alpha \mapsto h_\alpha$ est un homomorphisme de l’anneau A (resp. de l’anneau opposé $A^0$) dans l’anneau $\mathscr{E}$ et on a par définition $\alpha x = (\varphi(\alpha))(x)$ (resp. $x\alpha = (\varphi(\alpha))(x)$). Réciproquement, la donnée d’un homomorphisme d’anneaux $\varphi : A \to \mathscr{E}$ (resp. $\varphi : A^0 \to \mathscr{E}$) définit sur E une structure de A-module à gauche (resp. à droite) par les formules précédentes. Autrement dit, se donner une structure de A-module à gauche (resp. à droite) sur un groupe additif E, ayant pour loi additive la loi de groupe donnée, équivaut à se donner un homomorphisme d’anneaux $A \to \mathscr{E}$ (resp. $A^0 \to \mathscr{E}$).