Exemple 2

\* Soient $I$ un intervalle ouvert de la droite numérique $\mathbf{R}$, $E$ l’espace vectoriel des fonctions numériques dérivables dans $I$, $F$ l’espace vectoriel de toutes les fonctions numériques définies dans $I$. L’application $x \mapsto x'$ qui, à toute fonction dérivable $x$, fait correspondre sa dérivée, est une application linéaire de $E$ dans $F$*

On notera qu’une homothétie $x \mapsto \alpha x$ dans un $A$-module $E$ n’est pas nécessairement une application linéaire: en d’autres termes, on n’a pas nécessairement la relation $\alpha(\lambda x) = \lambda(\alpha x)$ quels que soient $\lambda \in A$ et $x \in E$. Cette relation est toutefois vraie lorsque $\alpha$ appartient au centre de $A$; on dit alors que $x \mapsto \alpha x$ est une homothétie centrale (cf. II, p. 32).

Si $u : E \to F$ est une application linéaire, on a, pour toute famille $(x_i)_{i \in I}$ d’éléments de $E$ et toute famille $(\lambda_i)_{i \in I}$ d’éléments de $A$, telles que le support de la famille $(\lambda_i x_i)_{i \in I}$ soit fini, (5)

comme il résulte aussitôt de (3) et (4G) par récurrence sur le cardinal du support de la famille $(\lambda_i x_i)$.