Proposition 2

Soient E, F deux A-modules. 1° Si $u : E \to F$ et $v : F \to E$ sont deux applications linéaires telles que $v \circ u$ soit l’application identique de E et $u \circ v$ l’application identique de F, u est un isomorphisme de E sur F et v l’isomorphisme réciproque. 2° Toute application linéaire bijective $u : E \to F$ est un isomorphisme de E sur F. Ces propositions découlent aussitôt de la déf. 4.

Les prop. 1 et 2 montrent que l’on peut prendre pour morphismes de l’espèce de structure de A-module les applications linéaires (E, IV, p. 11); nous supposerons toujours par la suite que l’on a fait ce choix de morphismes.

Étant donnés deux A-modules à gauche (resp. à droite) E et F, on notera Hom(E, F) ou Hom_A(E, F) l’ensemble des applications linéaires de E dans F.

L’ensemble Hom(E, F) est un groupe commutatif, sous-groupe du groupe commutatif produit $F^E$ de toutes les applications de E dans F (I, p. 43); on rappelle en effet que l’on a pour deux éléments $u, v$ de $F^E$, et pour tout $x \in E$,

d’où résulte aussitôt que si $u$ et $v$ sont linéaires, il en est de même de $u + v$ et de $-u$. Si G est un troisième A-module à gauche (resp. à droite), $f, f_1, f_2$ des éléments de Hom(E, F), $g, g_1, g_2$ des éléments de Hom(F, G), on vérifie aussitôt les relations

(6)

(7) (8)

En particulier, la loi de composition $(f, g) \mapsto f \circ g$ sur Hom(E, E) définit, avec la structure de groupe additif précédente, une structure d’*anneau* sur Hom(E, E), dont l’élément unité, noté $1_E$ ou Id_E, est l’application identique de E; les applications linéaires de E dans lui-même sont encore appelées endomorphismes du A-module E et l’anneau Hom(E, E) se note encore End(E) ou End_A(E). Les automorphismes du A-module E ne sont autres que les éléments inversibles de End(E) (prop. 2); ils forment un groupe multiplicatif, noté Aut(E) ou $\mathbf{GL}(E)$, que l’on appelle aussi le groupe linéaire relatif à E.

Il résulte de (6) et (7) que pour deux A-modules E, F, Hom(E, F) est muni canoniquement d’une structure de module à gauche sur l’anneau Hom(F, F) et de module à droite sur l’anneau Hom(E, E).

Soient E, F, E', F' quatre A-modules (à gauche), u : E' → E et v : F → F' des applications A-linéaires. Si, à tout élément f ∈ Hom(E, F), on fait correspondre l’élément v ∘ f ∘ u ∈ Hom(E', F'), on définit une application

qui est $\mathbf{Z}$-linéaire et que nous noterons $\operatorname{Hom}(u, v)$ ou $\operatorname{Hom}_A(u, v)$. Si $u, u_1, u_2$ appartiennent à $\operatorname{Hom}(E', E)$, $v, v_1, v_2$ à $\operatorname{Hom}(F, F')$, on a

(9)

Soient E", F" deux A-modules, $u' : E'' \to E'$, $v' : F' \to F''$ des applications linéaires. On a

(10)

Si $u$ est un isomorphisme de E' sur E et $v$ un isomorphisme de F sur F', $\operatorname{Hom}(u, v)$ est un isomorphisme de $\operatorname{Hom}(E, F)$ sur $\operatorname{Hom}(E', F')$, dont l’isomorphisme réciproque est $\operatorname{Hom}(u^{-1}, v^{-1})$ d’après (10).

Si $h$ (resp. $k$) est un endomorphisme de E (resp. F), $\operatorname{Hom}(h, 1_F)$ (resp. $\operatorname{Hom}(1_E, k)$) n’est autre que l’homothétie de rapport $h$ (resp. $k$) pour la structure de module à droite (resp. à gauche) sur l’anneau End(E) (resp. End(F)) définie plus haut.