Exemple 5

\* Soit I un intervalle ouvert de la droite numérique $\mathbf{R}$; l’ensemble C des fonctions numériques définies et continues dans I est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel $\mathbf{R}^I$ de toutes les fonctions numériques définies dans I. De même, l’ensemble D des fonctions dérivables dans I est un sous-espace vectoriel de C.*

Soit E un A-module. Toute relation d’équivalence compatible (I, p. 11) avec la structure de module de E est de la forme $x - y \in M$, où M est un sous-groupe stable de E (I, p. 33), c’est-à-dire un sous-module de E. On vérifie immédiatement que la structure de groupe à opérateurs du groupe quotient E/M (I, p. 35) est une structure de A-module, pour laquelle l’application canonique $E \to E/M$ est linéaire; muni de cette structure, E/M est appelé module quotient de E par le sous-module M. Un module quotient d’un espace vectoriel E s’appelle espace vectoriel quotient (ou simplement espace quotient) de E.

Exemple 6). — Tout idéal à gauche $a$ dans un anneau A définit un module quotient $A_s/a$ du A-module à gauche $A_s$; par abus de notation, ce module quotient s’écrit souvent $A/a$.

Soient E, F deux A-modules. Il résulte des propriétés générales des groupes à opérateurs (I, p. 36) (ou directement des définitions) que si $u : E \to F$ est une application linéaire, l’image par u de tout sous-module de E est un sous-module de F et l’image réciproque par u de tout sous-module de F est un sous-module de E. En particulier, le noyau $N = \overline{u}^{-1}(0)$ est un sous-module de E et l’image $u(E)$ de E par u est un sous-module de F (I, p. 37, prop. 7); on dit par abus de langage que $u(E)$ est l’image de u. Le module quotient $E/N$ s’appelle aussi la coïmage de u et le module quotient $F/u(E)$ le conoyau de u. Dans la décomposition canonique de u (I, p. 37)

$v$ est un isomorphisme de la coïmage de u sur l’image de u (II, p. 5, prop. 2). Pour que u soit injective, il faut et il suffit que son noyau soit nul; pour que u soit surjective, il faut et il suffit que son conoyau soit nul.

Le noyau, l’image, la coïmage et le conoyau de u se notent respectivement Ker $u$, Im $u$, Coïm $u$, Coker $u$.