Remarque 4

Considérons un couple d’homomorphismes de A-modules (15)

Pour que le diagramme (15) soit une suite exacte, il faut et il suffit qu’il existe deux A-modules S, T et des homomorphismes a : E → S, b : S → F, c : F → T, d : T → G tels que les trois suites (16) soient exactes, et que l’on ait f = b ∘ a et g = d ∘ c.

En effet, si (15) est une suite exacte, on prend S = f(E) = \overline{g}^{-1}(0) et T = g(F), b et d étant les injections canoniques, a (resp. c) l’homomorphisme ayant même graphe que f (resp. g). Réciproquement, si S, T, a, b, c, d vérifient les conditions ci-dessus, on a f(E) = b(a(E)) = b(S) et \overline{g}^{-1}(0) = \overline{c}^{-1}(\overline{d}^{-1}(0)) = \overline{c}^{-1}(0), donc l’exactitude de (16) montre que f(E) = \overline{g}^{-1}(0).

On se dispensera souvent de désigner explicitement par des lettres les homomorphismes d’une suite exacte, lorsque cela n’est pas nécessaire dans les raisonnements.

Remarque 5). — La définition d’une suite exacte s’étend aussitôt aux groupes non nécessairement commutatifs; on utilisera naturellement dans ce cas la notation multiplicative, 0 étant remplacé par 1 dans les formules (si aucune confusion n’en résulte). Les parties $a), b), c)$ de la prop. 3 sont encore valables, ainsi que d) lorsque F est un sous-groupe distingué de E. La Remarque 2 et la prop. 3 e) subsistent lorsqu’on ajoute que $f(E)$ doit être un sous-groupe distingué de F; les Remarques 3 et 4 sont valables sans modification.