Remarque 2

Si l’homomorphisme d’anneaux $\rho : B \to A$ est surjectif, et si $b$ est son noyau (de sorte que $A$ s’identifie canoniquement à $B/b$), alors, pour tout $A$-module $E$, $b$ est contenu dans l’annulateur de $\rho_*(E)$, et $E$ est le $A$-module déduit de $\rho_*(E)$ par le procédé défini dans II, p. 28.

Soient $A, B$ deux anneaux, $\rho : B \to A$ un homomorphisme. Soient $E$ un $A$-module, $F$ un $B$-module; une application $B$-linéaire $u : F \to \rho_*(E)$ (dite aussi application B-linéaire de F dans E si aucune confusion n’en résulte) est encore appelée application semi-linéaire (relative à $\rho$) du $B$-module $F$ dans le $A$-module $E$; on dit aussi que le couple $(u, \rho)$ est un dimorphisme de $F$ dans $E$; cela signifie donc que pour $x \in F, y \in F$ et $\beta \in B$, on a

L’ensemble $\mathrm{Hom}_B(F, \rho_*(E))$ des applications $B$-linéaires de $F$ dans $E$ s’écrit aussi $\mathrm{Hom}_B(F, E)$ si cela n’entraîne pas confusion.

Lorsque $\rho$ est un isomorphisme de $B$ sur $A$, la relation $u(\beta x) = \rho(\beta)u(x)$ pour tout $\beta \in B$ s’écrit aussi $u(\rho'(\alpha)x) = \alpha u(x)$ pour tout $\alpha \in A$, en désignant par $\rho'$ l’isomorphisme réciproque de $\rho$; dire que $u$ est semi-linéaire pour $\rho$ équivaut alors à dire que $u$ est une application $A$-linéaire de $\rho'_*(F)$ dans $E$.