Exemple 2

Un A-module à gauche E est canoniquement muni d’une structure de module à gauche sur l’anneau $\mathrm{End}_A(E)$, et sur E la structure de A-module et celle de $\mathrm{End}_A(E)$-module sont compatibles.

Il est clair que lorsque E est un multimodule sur deux familles $(A_\lambda)_{\lambda \in L}$, $(B_\mu)_{\mu \in M}$ d’anneaux, E est aussi un multimodule sur deux sous-familles quelconques $(A_{\lambda'})_{\lambda' \in L'}$, $(B_{\mu'})_{\mu' \in M'}$, étant entendu que les structures de $A_\lambda$-module et de $B_\mu$-module pour $\lambda \in L'$ et $\mu \in M'$ sont celles initialement données.

Les multimodules étant des groupes commutatifs à opérateurs particuliers, on peut leur appliquer les résultats des n°s 2 à 10 (cf. II, p. 23, Remarque); en particulier, si E, F sont deux $((A_\lambda), (B_\mu))$-multimodules, un homomorphisme $u : E \to F$ est une application qui est un $A_\lambda$-homomorphisme pour tout $\lambda \in L$ et un $B_\mu$-homomorphisme pour tout $\mu \in M$. Les sous-groupes stables d’un $((A_\lambda), (B_\mu))$-multimodule sont des $((A_\lambda), (B_\mu))$-multimodules (dits sous-multimodules), ainsi que les quotients par de tels sous-groupes (dits multimodules quotients); de même pour les produits et sommes directes.

Soient E un $((A_\lambda), (B_\mu))$-multimodule, et pour chaque $\lambda \in L$ (resp. chaque $\mu \in M$) soit $\varphi_\lambda : A'_\lambda \to A_\lambda$ (resp. $\psi_\mu : B'_\mu \to B_\mu$) un homomorphisme d’anneaux; il est clair que les structures de $A'_\lambda$-module associées aux $\varphi_\lambda$ et aux structures de $A_\lambda$-module données sur E, et les structures de $B'_\mu$-module associées aux $\psi_\mu$ et aux structures de $B_\mu$-modules données sur E, sont deux à deux compatibles, donc définissent sur E une structure de $((A'_\lambda), (B'_\mu))$-multimodule, dite associée à la structure de $((A_\lambda), (B_\mu))$-multimodule donnée et aux $\varphi_\lambda$ et aux $\psi_\mu$.

Si E, F sont deux $((A_\lambda), (B_\mu))$-multimodules, on désigne par $\mathrm{Hom}_{(A_\lambda), (B_\mu)}(E, F)$ (ou simplement $\mathrm{Hom}(E, F)$) le groupe additif des homomorphismes de E dans F. Les formules (6) à (8) de II, p. 5 sont évidemment valables pour des homomorphismes de $((A_\lambda), (B_\mu))$-multimodules, et en particulier $\mathrm{Hom}(E, E) = \mathrm{End}(E)$ est muni d’une structure d’anneau; en outre $\mathrm{Hom}(E, F)$ est canoniquement muni d’une structure de $\mathrm{End}(F)$-module à gauche et de $\mathrm{End}(E)$-module à droite, ces deux structures étant compatibles; autrement dit, $\mathrm{Hom}(E, F)$ est canoniquement muni d’une structure de $(\mathrm{End}(F), \mathrm{End}(E))$-bimodule.

Supposons maintenant E muni d’une structure de multimodule dont les anneaux d’opérateurs à gauche (resp. à droite) sont d’une part les $A_\lambda$ pour $\lambda \in L$ (resp. les $B_\mu$ pour $\mu \in M$), d’autre part les anneaux d’une autre famille $(A'_{\lambda'})_{\lambda' \in L'}$ (resp. $(B'_{\mu'})_{\mu' \in M'}$). Supposons de même F muni d’une structure de multimodule dont les anneaux d’opérateurs à gauche (resp. à droite) sont d’une part les $A_\lambda$ pour $\lambda \in L$ (resp. les $B_\mu$ pour $\mu \in M$), d’autre part les anneaux d’une autre famille $(A''_{\lambda''})_{\lambda'' \in L''}$ (resp. $(B''_{\mu''})_{\mu'' \in M''}$); nous dirons pour abréger que E est un $((A_\lambda), (A'_{\lambda'}); (B_\mu), (B'_{\mu'}))$-multimodule, F un $((A_\lambda), (A''_{\lambda''}); (B_\mu), (B''_{\mu''}))$-multimodule. Considérons E et F comme des $((A_\lambda), (B_\mu))$-multimodules, en restreignant donc les opérateurs aux sous-familles $(A_\lambda)$ et $(B_\mu)$. En vertu de ce qu’on a vu au début ce n°, les structures de multimodules données sur E et F définissent canoniquement des homomorphismes d’anneaux $A'_{\lambda'} \to \mathrm{End}_{(A_{\lambda}), (B_{\mu})}(E)$, ${B'_{\mu'}}^0 \to \mathrm{End}_{(A_{\lambda}), (B_{\mu})}(E)$, $A''_{\lambda''} \to \mathrm{End}_{(A_{\lambda}), (B_{\mu})}(F)$, ${B''_{\mu''}}^0 \to \mathrm{End}_{(A_{\lambda}), (B_{\mu})}(F)$; en outre, deux éléments de $\mathrm{End}_{(A_{\lambda}), (B_{\mu})}(E)$ (resp. $\mathrm{End}_{(A_{\lambda}), (B_{\mu})}(F)$) images respectives d’éléments de deux anneaux distincts pris parmi les $A'_{\lambda'}$ ou les ${B'_{\mu'}}^0$ (resp. les $A''_{\lambda''}$ ou les ${B''_{\mu''}}^0$) sont permutables; on en conclut que les homomorphismes précédents définissent sur $\mathrm{Hom}_{(A_{\lambda}), (B_{\mu})}(E, F)$ une structure de multimodule, dont les anneaux d’opérateurs à gauche sont les $A''_{\lambda''} (\lambda'' \in L'')$ et les $B'_{\mu'} (\mu' \in M')$, et les anneaux d’opérateurs à droite sont les $A'_{\lambda'} (\lambda' \in L')$ et les $B''_{\mu''} (\mu'' \in M'')$.

Si maintenant $E'$ est un $((A_{\lambda}), (A'_{\lambda'}); (B_{\mu}), (B'_{\mu'}))$-multimodule, $F'$ un $((A_{\lambda}), (A''_{\lambda''}); (B_{\mu}), (B''_{\mu''}))$-multimodule, $\mathrm{Hom}_{(A_{\lambda}), (B_{\mu})}(E', F')$ est un $((A''_{\lambda''}), (B'_{\mu'}); (A'_{\lambda'}), (B''_{\mu''}))$-multimodule; si $u : E' \to E, v : F \to F'$ sont des homomorphismes de multimodules,

est défini comme dans II, p. 6 et est un homomorphisme de multimodules.