Remarque 2

Soit E un A-module à gauche; comme A est canoniquement muni d’une structure de (A, A)-bimodule, il en est de même de la somme directe $A^{(T)}$ pour tout ensemble d’indices T; d’après ce qui précède, $\mathrm{Hom}_A(A_s^{(T)}, E)$ est canoniquement muni d’une structure de A-*module à gauche* provenant de la structure de A-module à droite de $A_s^{(T)}$: pour $f \in \mathrm{Hom}_A(A_s^{(T)}, E)$ et $\alpha \in A$, $\alpha f$ est l’application linéaire $x \mapsto f(x \alpha)$. Le cor. 2 de II, p. 24 définit une application canonique $j_{E, T}$ du module produit $E^T$ dans $\mathrm{Hom}_A(A_s^{(T)}, E)$, l’image par $j_{E, T}$ d’une famille $(x_t)_{t \in T}$ étant l’application linéaire $f : A_s^{(T)} \to E$ telle que $f(e_t) = x_t$ pour tout $t \in T$ (où $(e_t)$ est la base canonique de $A_s^{(T)}$); on sait (loc. cit.) que $j_{E, T}$ est bijective et il résulte de la définition donnée ci-dessus de la structure de A-module de $\mathrm{Hom}_A(A_s^{(T)}, E)$ que $j_{E, T}$ est A-*linéaire*. Enfin, si $u : E \to F$ est un homomorphisme de A-modules, le diagramme

est commutatif.

On notera que pour T réduit à un seul élément, $j_E : E \to \mathrm{Hom}_A(A_s, E)$ n’est autre que l’application $x \mapsto \theta_x$ définie dans II, p. 4, Exemple 1.