Remarque 3

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Algebra, chapter II, § 2. Modules d’applications linéaires. Dualité

Une équation linéaire $u(x) = y_0$ est dite scalaire lorsque $F = A_s$ , et par suite $u$ est une forme linéaire sur E et $y_0$ un scalaire. Si E admet une base $(a_\lambda)_{\lambda \in L}$ , il résulte de la Remarque 2) qu’une telle équation s’écrit aussi

\sum_{\lambda \in L} \xi_\lambda \alpha_\lambda = y_0 \in A

où la famille de scalaires

(\alpha_\lambda)

est arbitraire, et où il est sous-entendu que la famille

(\xi_\lambda)

doit avoir un support fini. De façon générale, par solution (dans A) d’un système d’équations linéaires scalaires

\sum_{\lambda \in L} \xi_\lambda \alpha_{\lambda i} = \eta_i \quad (i \in I)

où

\alpha_{\lambda i} \in A

\eta_i \in A

sont arbitraires, on entend une famille

(\xi_\lambda)_{\lambda \in L}

d’éléments de A, de support fini, et vérifiant (32); les

\alpha_{\lambda i}

sont dits les coefficients du système d’équations, et les

\eta_l

les seconds membres. La résolution d’un tel système est équivalente à celle de l’équation

u(x) = y

, où

y = (\eta_l)

u : A_s^{(L)} \to A_s^l

est l’application linéaire

(\xi_\lambda) \mapsto \left( \sum_{\lambda \in L} \xi_\lambda \alpha_{\lambda l} \right).

Bourbaki place la démonstration juste après l’énoncé : ce qui précède est l’énoncé avec sa démonstration.

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Rien.

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Rien.