Remarque 2

Les considérations de ce n° peuvent se généraliser au cas suivant: soient E un A-module à droite, F un A-module à gauche, C un anneau commutatif, $\rho : C \to A$ un homomorphisme de C dans A tel que $\rho(C)$ soit contenu dans le centre de A (cf. III, p. 6). On peut alors considérer les C-modules $\rho_*(E)$ et $\rho_*(F)$ et l’hypothèse sur $\rho$ entraîne que les structures de ces C-modules sont respectivement compatibles avec les structures de A-module de E et F (II, p. 33). Le produit tensoriel $E \otimes_A F$ est donc (en vertu de II, p. 54) muni de deux structures de C-modules telles que $\gamma(x \otimes y) = (x \rho(\gamma)) \otimes y$ et $\gamma(x \otimes y) = x \otimes (\rho(\gamma)y)$ respectivement pour $\gamma \in C, x \in E, y \in F$, et la déf. 1 (II, p. 51) montre encore que ces deux structures sont identiques. Si $E'$ (resp. $F'$) est un A-module à droite (resp. à gauche), $u : E \to E', v : F \to F'$ deux applications A-linéaires, alors $u \otimes v : E \otimes_A F \to E' \otimes_A F'$ est C-linéaire pour les structures de C-modules qu’on vient de définir; l’application $(u, v) \mapsto u \otimes v$:

est C-*bilinéaire* (pour les structures de C-module sur $\mathrm{Hom}_A(E, E')$ et $\mathrm{Hom}_A(F, F')$ définies dans II, p. 35, Remarque 1) d’où l’on déduit encore une application C-linéaire, dite canonique

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