Remarque 3

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Algebra, chapter II, § 3. Produits tensoriels

Soient A un anneau intègre, K son corps des fractions. Si E et F sont deux K-espaces vectoriels, l’application canonique

(E_{[A]}) \otimes_A (F_{[A]}) \to E \otimes_K F

(II, p. 53 et p. 30) est bijective. Il suffit en effet (II, p. 55) de prouver que si $f$ est une application A-*bilinéaire* de $E \times F$ dans un K-espace vectoriel G, $f$ est aussi K-*bilinéaire*. Or, pour tout $\alpha \neq 0$ dans A, on a alors d’où

\alpha f(\alpha^{-1}x, y) = f(x, y) = \alpha f(x, \alpha^{-1}y),

puisque G est un K-espace vectoriel.

Bourbaki place la démonstration juste après l’énoncé : ce qui précède est l’énoncé avec sa démonstration.

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Rien.

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Rien.