Remarque 2

On notera que si l’on a des suites exactes

il n’en résulte pas nécessairement que la suite soit exacte; autrement dit, la limite projective d’un système projectif d’applications linéaires surjectives n’est pas nécessairement surjective (cf. II, p. 192, exerc. 1).

Supposons maintenant que tous les $A_\alpha$ soient égaux à un même anneau $A$ et les $\varphi_{\alpha \beta}$ à $1_A$; alors pour tout système projectif $(E_\alpha, f_{\alpha \beta})$ de $A$-modules, $E = \lim_{\leftarrow} E_\alpha$ est un $A$-module. Soit $F$ un $A$-module, et pour tout $\alpha$, soit $u_\alpha : F \to E_\alpha$ une applica-

tion A-linéaire telle que $(u_\alpha)$ soit un système projectif d’applications; alors $u = \lim_{\leftarrow} u_\alpha$ est une application A-linéaire de F dans $\lim_{\leftarrow} E_\alpha$. Inversement, pour toute application A-linéaire $v : F \to \lim_{\leftarrow} E_\alpha$, la famille des $v_\alpha = f_\alpha \circ v$ est un système projectif d’applications A-linéaires tel que $v = \lim_{\leftarrow} v_\alpha$. Notons d’autre part que pour $\alpha \leq \beta$, l’application

est un homomorphisme de $\mathbf{Z}$-modules tel que $(\operatorname{Hom}_A(F, E_\alpha), \bar{f}_{\alpha \beta})$ soit un système projectif de $\mathbf{Z}$-modules; comme $\bar{f}_{\alpha \beta}(v_\beta) = f_{\alpha \beta} \circ v_\beta$, les remarques précédentes peuvent donc s’exprimer de la façon suivante: