Remarque 2

Étiquette 0DFX, permanente. À citer comme [Bourbaki, Tag 0DFX].

Algebra, chapter II, § 7. Espaces vectoriels

Soient K un corps commutatif, $E_1, E_2, F_1, F_2$ quatre espaces vectoriels sur K, $u : E_1 \to F_1, v : E_2 \to F_2$ deux applications linéaires; on a alors

\operatorname{rg}(u \otimes v) = \operatorname{rg}(u) \cdot \operatorname{rg}(v).

En effet, il est immédiat que

(u \otimes v)(E_1 \otimes E_2)

est l’image canonique de

u(E_1) \otimes v(E_2)

dans

F_1 \otimes F_2

, donc (II, p. 108, prop. 14) est isomorphe à

u(E_1) \otimes v(E_2)

; la conclusion résulte alors de (30).

Bourbaki place la démonstration juste après l’énoncé : ce qui précède est l’énoncé avec sa démonstration.

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Rien.

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Rien.