Remarque 3

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Algebra, chapter II, § 7. Espaces vectoriels

Sous les mêmes hypothèses que dans la Remarque 1, on a

\dim_K(\operatorname{Hom}_K(E, F)) \geq \dim_K E \cdot \dim_K F.

En effet, si E est isomorphe à

K^{(I)}

\operatorname{Hom}(E, F)

est isomorphe à

(\operatorname{Hom}(K, F))^{I}

(II, p. 13, cor. 1), donc à

F^{I}

(II, p. 35); comme

F^{(I)}

est un sous-espace de

F^{I}

et que

\dim(F^{(I)}) = \operatorname{Card}(I) \cdot \dim F = \dim E \cdot \dim F

(II, p. 97, prop. 2), l’inégalité (32) résulte de II, p. 99, cor. 4. Le même raisonnement montre que les deux membres de (32) sont égaux lorsque dim E est finie (cf. II, p. 142 et 144).

Bourbaki place la démonstration juste après l’énoncé : ce qui précède est l’énoncé avec sa démonstration.

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Rien.

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Rien.