Remarque 3

Soient $A, B$ deux anneaux commutatifs, $\sigma : A \to B$ un homomorphisme d’anneaux. Les notations étant celles de la prop. 3, $(e_i \otimes 1)$ et $(f_k \otimes 1)$ sont des bases respectives de $E_{(B)} = E \otimes_A B$ et $F_{(B)} = F \otimes_A B$ (II, p. 84, prop. 4); en outre, si $(e_i^*)$ et $(f_k^*)$ sont respectivement les bases duales de $(e_i)$ et $(f_k)$, alors $(e_i^* \otimes 1)$ et $(f_k^* \otimes 1)$ sont respectivement les bases duales de $(e_i \otimes 1)$ et $(f_k \otimes 1)$ (II, p. 88). Pour toute application $A$-linéaire $u : E \to F$, soient $M(u)$ et $M(u \otimes 1)$ la matrice de $u$ par rapport à $(e_i)$ et $(f_k)$ et la matrice de l’application $B$-linéaire $u \otimes 1$ par rapport à $(e_i \otimes 1)$ et $(f_k \otimes 1)$. Il résulte de II, p. 87, formule (20) que l’on a

Considérons un système d’un nombre fini d’équations linéaires scalaires à droite à un nombre fini d’inconnues

avec $a_{ki}, x_i, b_k$ dans $A$.

Soient $(e_i)_{i \in I}, (f_k)_{k \in K}$ les bases canoniques de $E = A_d^I$ et $F = A_d^K$; le système (19) est équivalent à l’équation $u(x) = b$, où $x = \sum_i e_i x_i$, $b = \sum_k f_k b_k$ et $u : E \to F$ est l’application linéaire telle que la matrice $M(u)$, par rapport aux bases $(e_i)$ et $(f_k)$, soit égale à $A = (a_{ki})_{(k, i) \in K \times I}$. On dit cette matrice est la matrice du système d’équations linéaires (19). Rappelons (II, p. 49, Remarques 2 et 3) que si on pose $c_i = \sum_k f_k a_{ki}$, le système (19) équivaut à l’unique équation vectorielle

et comme $c_i$ est la colonne d’indice $i$ de la matrice $A$, on voit que dire que le système (19) admet une solution revient à dire que la matrice à une colonne $b = (b_{k0})$ est combinaison linéaire des colonnes de la matrice $A$.

Nous laissons au lecteur le soin de formuler les définitions et remarques analogues pour les systèmes d’équations linéaires à gauche.