Remarque 3

Étiquette 0DG2, permanente. À citer comme [Bourbaki, Tag 0DG2].

Soient A, B deux anneaux, $\sigma : A \to B$ un homomorphisme de A dans B, E un A-module à droite (resp. à gauche), $(e_i), (e_i')$ deux bases de $n$ éléments de E, F un B-module à droite (resp. à gauche), $(f_j), (f_j')$ deux bases de $m$ éléments de F, $P$ (resp. $Q$ ) la matrice de passage de $(e_i)$ à $(e_i')$ (resp. de $(f_j)$ à $(f_j')$ ).

Pour toute application semi-linéaire $u : E \to F$ , relative à $\sigma$ , soient $M(u)$ la matrice de $u$ rapport à $(e_i)$ et $(f_j)$ , $M'(u)$ sa matrice par rapport à $(e_i')$ et $(f_j')$ . Alors on a (39 D)

M'(u) = Q^{-1} M(u) \sigma(P)

(resp. (39 G)

^tM'(u) = \sigma(^tP) . ^tM(u) . ^tQ^{-1}).

La démonstration est la même que pour (33 D) et (33 G), en utilisant cette fois les formules (27 D) et (27 G) (II, p. 148).

Bourbaki place la démonstration juste après l’énoncé : ce qui précède est l’énoncé avec sa démonstration.

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Rien.

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Rien.