Remarque 2

Étiquette 0DG3, permanente. À citer comme [Bourbaki, Tag 0DG3].

Soient $X$ et $X'$ deux matrices carrées d’ordre $n$ , qui s’écrivent sous forme de matrices diagonales de matrices carrées (II, p. 152, Exemple IV) :

X = \begin{pmatrix} X_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & X_2 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & X_p \end{pmatrix} \qquad X' = \begin{pmatrix} X'_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & X'_2 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & X'_p \end{pmatrix}

correspondant à la même partition de l’ensemble d’indices $\{1, n\}$ pour $X$ et $X'$ . Si, pour $1 \leq i \leq p$ , $X_i$ et $X'_i$ sont équivalentes (resp. semblables), alors $X$ et $X'$ sont équivalentes (resp. semblables) : en effet, si $X'_i = P_i X_i Q_i$ pour $1 \leq i \leq p$ , on a $X' = PXQ$ avec

P = \begin{pmatrix} P_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & P_2 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & P_p \end{pmatrix} \qquad Q = \begin{pmatrix} Q_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & Q_2 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & Q_p \end{pmatrix}

comme il résulte du calcul du produit « par blocs » (II, p. 147). En outre, si $Q_i = P_i^{-1}$ pour tout $i$ , on a $Q = P^{-1}$ .

Bourbaki place la démonstration juste après l’énoncé : ce qui précède est l’énoncé avec sa démonstration.

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Rien.

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Rien.