Exemple 3

Si $\Delta = \Delta_1 \times \Delta_2$ est un produit de deux ensembles, on dit qu’une graduation de type Δ est une bigraduation de types $\Delta_1, \Delta_2$. Pour tout $\lambda \in \Delta_1$, posons $G'_\lambda = \bigoplus_{\mu \in \Delta_2} G_{\lambda \mu}$, et pour tout $\mu \in \Delta_2$, posons $G''_\mu = \bigoplus_{\lambda \in \Delta_1} G_{\lambda \mu}$ ; il est clair que $(G'_\lambda)_{\lambda \in \Delta_1}$ est une graduation de type $\Delta_1$ et $(G''_\mu)_{\mu \in \Delta_2}$ une graduation de type $\Delta_2$ sur G ; on dit que ces graduations sont les graduations partielles déduites de la bigraduation $(G_{\lambda \mu})$. On notera que l’on a $G_{\lambda \mu} = G'_\lambda \cap G''_\mu$ ; inversement, si $(G'_\lambda)_{\lambda \in \Delta_1}$ et $(G''_\mu)_{\mu \in \Delta_2}$ sont deux graduations sur G telles que G soit somme directe des

G_{\lambda,\mu} = G'_\lambda \cap G''_\mu, ces sous-groupes forment une bigraduation de types $\Delta_1, \Delta_2$ sur G, dont $(G'_\lambda)$ et $(G''_\mu)$ sont les graduations partielles. Nous laissons au lecteur le soin de généraliser au cas où $\Delta$ est un produit fini d’ensembles.