Exemple 4

Soient $\Delta_0$ un monoïde commutatif noté additivement, ayant un élément neutre noté 0 ; soit I un ensemble quelconque, et désignons par $\Delta_0^{(I)} = \Delta$ le sous-monoïde du produit $\Delta_0^I$ formé des familles $(\lambda_i)_{i \in I}$ de support fini. Soit $\rho : \Delta \to \Delta_0$ l’homomorphisme (codiagonal) surjectif de $\Delta$ dans $\Delta_0$ défini par $\rho((\lambda_i)) = \sum_{i \in I} \lambda_i$. De toute graduation de type $\Delta$ on déduit au moyen de $\rho$ une graduation de type $\Delta_0$ (Exemple 2) ; on dit que c’est la graduation totale associée à la « multigraduation » donnée de type $\Delta$.

Les définitions et exemples de ce n° s’étendent aussitôt au cas où G est un groupe non nécessairement commutatif ; il faut simplement remplacer partout la notion de somme directe par celle de « somme restreinte » (II, p. 15, Remarque). On notera que dans ce cas les $G_\lambda$ sont des sous-groupes distingués de G et que pour $\lambda \neq \mu$, tout élément de $G_\lambda$ est permutable à tout élément de $G_\mu$.