Exemple 3

Soient $A$ un anneau gradué de type $\Delta$, $M$ un $A$-module gradué de type $\Delta$, $\lambda_0$ un élément de $\Delta$; pour tout $\lambda \in \Delta$, soit $M'_\lambda = M_{\lambda + \lambda_0}$, et soit $M'$ le $\mathbf{Z}$-module $\bigoplus_{\lambda \in \Delta} M'_\lambda$. Comme $A_\lambda M'_\mu \subset M_{\lambda + \mu + \lambda_0} = M'_{\lambda + \mu}$, $M'$ est un $A$-module et les $M'_\lambda$ forment sur $M'$ une graduation de type $\Delta$ compatible avec la structure de $A$-module de $M'$; on dit que le $A$-module gradué $M'$ de type $\Delta$ ainsi défini est obtenu par décalage de $\lambda_0$ de la graduation de $M$, et on le note $M(\lambda_0)$. Lorsque $\Delta$ est un groupe, le $A$-module sous-jacent au $A$-module gradué $M'$ s’identifie à $M$.