Exemple 7

Si $a$ est un élément homogène de degré $\delta$ appartenant au centre de $A$, l’homothétie $x \mapsto ax$ d’un $A$-module gradué quelconque $M$ est un homomorphisme gradué de degré $\delta$.

Remarque 3). — On dit qu’un $A$-module gradué $M$ est un $A$-module gradué libre s’il existe une base $(m_i)_{i \in I}$ de $M$ formée d’éléments homogènes. Supposons qu’il en soit ainsi et que $\Delta$ soit un groupe commutatif; soit $\lambda_i$ le degré de $m_i$, et considérons pour chaque $i$ le $A$-module décalé $A(-\lambda_i)$ (II, p. 165, Exemple 3); si on désigne par $e_i$ l’élément 1 de $A$, considéré comme élément de degré $\lambda_i$ dans $A(-\lambda_i)$, l’application $A$-linéaire $u : \bigoplus_{i \in I} A(-\lambda_i) \to M$ telle que $u(e_i) = m_i$ pour tout $i$, est un isomorphisme de $A$-modules gradués.

Supposant toujours que $\Delta$ est un groupe commutatif, soient maintenant $N$ un $A$-module gradué, $(n_i)_{i \in I}$ un système de générateurs homogènes de $N$, et supposons que $n_i$ soit de degré $\mu_i$. Alors l’application $A$-linéaire $v : \bigoplus_{i \in I} A(-\mu_i) \to N$ telle que $u(e_i) = n_i$ pour tout $i$ est un homomorphisme surjectif de degré 0 de $A$-modules gradués. Si $N$ est un $A$-module gradué de type fini, il y a toujours un système fini de générateurs homogènes de $N$, et on aura donc un homomorphisme surjectif du type précédent avec $I$ finit.